微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 3 \cos (6 x)$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = 3 \cos (6 x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 3 \cos (6 x) d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 3 \cos (6 x) d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 3 \int \cos (6 x) d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u = 6 x$ 。然后使 $d u = 6 d x$ ，以便 $\frac{1}{6} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = 6 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $6 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 2.3.2.1.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \cdot 1$

解题步骤 2.3.2.1.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = 3 \int \cos (u) \frac{1}{6} d u$

解题步骤 2.3.3

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$y + C_{1} = 3 \int \frac{\cos (u)}{6} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{6} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $3$ 。

$y + C_{1} = \frac{3}{6} \int \cos (u) d u$

解题步骤 2.3.5.2

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$y + C_{1} = \frac{3 (1)}{6} \int \cos (u) d u$

解题步骤 2.3.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

解题步骤 2.3.5.2.2.2

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

解题步骤 2.3.5.2.2.3

重写表达式。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

解题步骤 2.3.6

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \sin (u) + C_{2}$

解题步骤 2.3.8

使用 $6 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \sin (6 x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{1}{2} \sin (6 x) + K$

微积分学 示例

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