微积分学示例

$x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

解题步骤 1

将 $x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 1.1

将 $x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

解题步骤 1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

解题步骤 1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

解题步骤 1.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

解题步骤 1.3.1.1.2

用 $\sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

解题步骤 1.3.1.2

将 $\tan (\frac{y}{x})$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.3.1.3

乘以 $\sin (\frac{y}{x}) \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ 。

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解题步骤 1.3.1.3.1

组合 $\sin (\frac{y}{x})$ 和 $\frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.3.1.3.2

对 $\sin (\frac{y}{x})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{1} (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.3.1.3.3

对 $\sin (\frac{y}{x})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{1} (\frac{y}{x}) \sin^{1} (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.3.1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{{\sin (\frac{y}{x})}^{1 + 1}}{\cos (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.3.1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{2} (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.3.2

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.1

从 $\sin^{2} (\frac{y}{x})$ 中分解出因数 $\sin (\frac{y}{x})$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.3.2.2

分离分数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x})}{1} \cdot \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.3.2.3

将 $\frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ 转换成 $\tan (\frac{y}{x})$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x})}{1} \tan (\frac{y}{x})$

解题步骤 1.3.2.4

用 $\sin (\frac{y}{x})$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

解题步骤 2

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = V + \sin (V) \tan (V)$

解题步骤 3

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 4

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 5

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \tan (V)$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

分离变量。

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解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

化简右边。

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解题步骤 6.1.1.1.1

化简 $V + \sin (V) \tan (V)$ 。

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解题步骤 6.1.1.1.1.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.1.1.1.1

将 $\tan (V)$ 重写为正弦和余弦形式。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

解题步骤 6.1.1.1.1.1.2

乘以 $\sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1.1.1.2.1

组合 $\sin (V)$ 和 $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

解题步骤 6.1.1.1.1.1.2.2

对 $\sin (V)$ 进行 $1$ 次方运算。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{1} (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

解题步骤 6.1.1.1.1.1.2.3

对 $\sin (V)$ 进行 $1$ 次方运算。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{1} (V) \sin^{1} (V)}{\cos (V)}$

解题步骤 6.1.1.1.1.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{{\sin (V)}^{1 + 1}}{\cos (V)}$

解题步骤 6.1.1.1.1.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{2} (V)}{\cos (V)}$

解题步骤 6.1.1.1.1.2

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.1.1.2.1

从 $\sin^{2} (V)$ 中分解出因数 $\sin (V)$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

解题步骤 6.1.1.1.1.2.2

分离分数。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V)}{1} \cdot \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

解题步骤 6.1.1.1.1.2.3

将 $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ 转换成 $\tan (V)$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V)}{1} \tan (V)$

解题步骤 6.1.1.1.1.2.4

用 $\sin (V)$ 除以 $1$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \tan (V)$

解题步骤 6.1.1.2

将所有不包含 $\frac{d V}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1.1.2.1

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = V + \sin (V) \tan (V) - V$

解题步骤 6.1.1.2.2

合并 $V + \sin (V) \tan (V) - V$ 中相反的项。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1

从 $V$ 中减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V) + 0$

解题步骤 6.1.1.2.2.2

将 $\sin (V) \tan (V)$ 和 $0$ 相加。

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$

解题步骤 6.1.1.2.3

将 $\tan (V)$ 重写为正弦和余弦形式。

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

解题步骤 6.1.1.2.4

乘以 $\sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ 。

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解题步骤 6.1.1.2.4.1

组合 $\sin (V)$ 和 $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

解题步骤 6.1.1.2.4.2

对 $\sin (V)$ 进行 $1$ 次方运算。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{1} (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

解题步骤 6.1.1.2.4.3

对 $\sin (V)$ 进行 $1$ 次方运算。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{1} (V) \sin^{1} (V)}{\cos (V)}$

解题步骤 6.1.1.2.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{{\sin (V)}^{1 + 1}}{\cos (V)}$

解题步骤 6.1.1.2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{2} (V)}{\cos (V)}$

解题步骤 6.1.1.2.5

从 $\sin^{2} (V)$ 中分解出因数 $\sin (V)$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

解题步骤 6.1.1.2.6

分离分数。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V)}{1} \cdot \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

解题步骤 6.1.1.2.7

将 $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ 转换成 $\tan (V)$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V)}{1} \tan (V)$

解题步骤 6.1.1.2.8

用 $\sin (V)$ 除以 $1$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$

解题步骤 6.1.1.3

将 $x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1.3.1

将 $x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

解题步骤 6.1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{\sin (V) \tan (V)}$ 。

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \cdot \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

解题步骤 6.1.3

约去 $\sin (V) \tan (V)$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \cdot \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

解题步骤 6.1.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.4

重写该方程。

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

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解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.2.1

化简。

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解题步骤 6.2.2.1.1

分离分数。

$\int \frac{1}{\tan (V)} \cdot \frac{1}{\sin (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.1.2

将 $\frac{1}{\sin (V)}$ 转换成 $\csc (V)$ 。

$\int \frac{1}{\tan (V)} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.1.3

将 $\tan (V)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{1}{\frac{\sin (V)}{\cos (V)}} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.1.4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ 。

$\int \frac{\cos (V)}{\sin (V)} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.1.5

将 $\frac{\cos (V)}{\sin (V)}$ 转换成 $\cot (V)$ 。

$\int \cot (V) \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2

因为 $- \csc (V)$ 的导数为 $\cot (V) \csc (V)$ ，所以 $\cot (V) \csc (V)$ 的积分为 $- \csc (V)$ 。

$- \csc (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- \csc (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \csc (V) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 6.3

求解 $V$ 。

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解题步骤 6.3.1

将 $- \csc (V) = \ln (| x |) + C$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1.1

将 $- \csc (V) = \ln (| x |) + C$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \csc (V)}{- 1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 6.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\csc (V)}{1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 6.3.1.2.2

用 $\csc (V)$ 除以 $1$ 。

$\csc (V) = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 6.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.3.1.1

移动 $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ 中分母的负号。

$\csc (V) = - 1 \cdot \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 6.3.1.3.1.2

将 $- 1 \cdot \ln (| x |)$ 重写为 $- \ln (| x |)$ 。

$\csc (V) = - \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 6.3.1.3.1.3

移动 $\frac{C}{- 1}$ 中分母的负号。

$\csc (V) = - \ln (| x |) - 1 \cdot C$

解题步骤 6.3.1.3.1.4

将 $- 1 \cdot C$ 重写为 $- C$ 。

$\csc (V) = - \ln (| x |) - C$

解题步骤 6.3.2

取等式两边的反余割以从余割中提出 $V$ 。

$V = arccsc (- \ln (| x |) - C)$

解题步骤 6.4

化简积分常数。

$V = arccsc (- \ln (| x |) + C)$

解题步骤 7

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $V$ 。

$\frac{y}{x} = arccsc (- \ln (| x |) + C)$

解题步骤 8

求解 $y$ 的 $\frac{y}{x} = arccsc (- \ln (| x |) + C)$ 。

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解题步骤 8.1

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{y}{x} x = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

化简左边。

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解题步骤 8.2.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

解题步骤 8.2.1.1.2

重写表达式。

$y = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

解题步骤 8.2.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $arccsc (- \ln (| x |) + C) x$ 中的因式重新排序。

$y = x arccsc (- \ln (| x |) + C)$

微积分学 示例

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