微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y}{t} + 2$

解题步骤 1

设 $V = \frac{y}{t}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{t}$ 。

$\frac{d y}{d t} = - V + 2$

解题步骤 2

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{t}$ 。

$y = V t$

解题步骤 3

使用乘积法则求 $y = V t$ 对 $t$ 的导数。

$\frac{d y}{d t} = t \frac{d V}{d t} + V$

解题步骤 4

代入 $t \frac{d V}{d t} + V$ 替换 $\frac{d y}{d t}$ 。

$t \frac{d V}{d t} + V = - V + 2$

解题步骤 5

求解代入的微分方程。

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解题步骤 5.1

分离变量。

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解题步骤 5.1.1

求解 $\frac{d V}{d t}$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

将所有不包含 $\frac{d V}{d t}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1.1.1

从等式两边同时减去 $V$ 。

$t \frac{d V}{d t} = - V + 2 - V$

解题步骤 5.1.1.1.2

从 $- V$ 中减去 $V$ 。

$t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$

解题步骤 5.1.1.2

将 $t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$ 中的每一项除以 $t$ 并化简。

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解题步骤 5.1.1.2.1

将 $t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$ 中的每一项都除以 $t$ 。

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

解题步骤 5.1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.1.1.2.2.1

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

解题步骤 5.1.1.2.2.1.2

用 $\frac{d V}{d t}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

解题步骤 5.1.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.1.1.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d V}{d t} = - \frac{2 V}{t} + \frac{2}{t}$

解题步骤 5.1.2

因数。

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解题步骤 5.1.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V + 2}{t}$

解题步骤 5.1.2.2

从 $- 2 V + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.1.2.2.1

从 $- 2 V$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V) + 2}{t}$

解题步骤 5.1.2.2.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V) + 2 (1)}{t}$

解题步骤 5.1.2.2.3

从 $2 (- V) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V + 1)}{t}$

解题步骤 5.1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{- V + 1}$ 。

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{2 (- V + 1)}{t}$

解题步骤 5.1.4

约去 $- V + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.4.1

从 $2 (- V + 1)$ 中分解出因数 $- V + 1$ 。

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{(- V + 1) \cdot 2}{t}$

解题步骤 5.1.4.2

约去公因数。

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{(- V + 1) \cdot 2}{t}$

解题步骤 5.1.4.3

重写表达式。

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{2}{t}$

解题步骤 5.1.5

重写该方程。

$\frac{1}{- V + 1} d V = \frac{2}{t} d t$

解题步骤 5.2

对两边积分。

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解题步骤 5.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{2}{t} d t$

解题步骤 5.2.2

对左边积分。

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解题步骤 5.2.2.1

使 $u = - V + 1$ 。然后使 $d u = - d V$ ，以便 $- d u = d V$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.2.2.1.1

设 $u = - V + 1$ 。求 $\frac{d u}{d V}$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 5.2.2.1.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 5.2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

解题步骤 5.2.2.2

将分数分解成多个分数。

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

解题步骤 5.2.2.3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

解题步骤 5.2.2.4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{2}{t} d t$

解题步骤 5.2.2.5

化简。

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

解题步骤 5.2.2.6

使用 $- V + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

解题步骤 5.2.3

对右边积分。

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解题步骤 5.2.3.1

由于 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} d t$

解题步骤 5.2.3.2

$\frac{1}{t}$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| t |)$ 。

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2})$

解题步骤 5.2.3.3

化简。

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + C_{2}$

解题步骤 5.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \ln (| - V + 1 |) = 2 \ln (| t |) + C$

解题步骤 5.3

求解 $V$ 。

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解题步骤 5.3.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - 2 \ln (| t |) = C$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.2.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (| t |)$ 。

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - \ln ({| t |}^{2}) = C$

解题步骤 5.3.2.1.2

去掉 ${| t |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - \ln (t^{2}) = C$

解题步骤 5.3.3

在等式两边都加上 $\ln (t^{2})$ 。

$- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$

解题步骤 5.3.4

将 $- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \ln (| - V + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

解题步骤 5.3.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\ln (| - V + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

解题步骤 5.3.4.2.2

用 $\ln (| - V + 1 |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| - V + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

解题步骤 5.3.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.4.3.1.1

移动 $\frac{C}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| - V + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

解题步骤 5.3.4.3.1.2

将 $- 1 \cdot C$ 重写为 $- C$ 。

$\ln (| - V + 1 |) = - C + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

解题步骤 5.3.4.3.1.3

移动 $\frac{\ln (t^{2})}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| - V + 1 |) = - C - 1 \cdot \ln (t^{2})$

解题步骤 5.3.4.3.1.4

将 $- 1 \cdot \ln (t^{2})$ 重写为 $- \ln (t^{2})$ 。

$\ln (| - V + 1 |) = - C - \ln (t^{2})$

解题步骤 5.3.5

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| - V + 1 |) + \ln (t^{2}) = - C$

解题步骤 5.3.6

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| - V + 1 | t^{2}) = - C$

解题步骤 5.3.7

将 $\ln (| - V + 1 | t^{2})$ 中的因式重新排序。

$\ln (t^{2} | - V + 1 |) = - C$

解题步骤 5.3.8

要求解 $V$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (t^{2} | - V + 1 |)} = e^{- C}$

解题步骤 5.3.9

使用对数的定义将 $\ln (t^{2} | - V + 1 |) = - C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- C} = t^{2} | - V + 1 |$

解题步骤 5.3.10

求解 $V$ 。

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解题步骤 5.3.10.1

将方程重写为 $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ 。

$t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$

解题步骤 5.3.10.2

将 $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ 中的每一项除以 $t^{2}$ 并化简。

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解题步骤 5.3.10.2.1

将 $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ 中的每一项都除以 $t^{2}$ 。

$\frac{t^{2} | - V + 1 |}{t^{2}} = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

解题步骤 5.3.10.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.10.2.2.1

约去 $t^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.10.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{t^{2} | - V + 1 |}{t^{2}} = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

解题步骤 5.3.10.2.2.1.2

用 $| - V + 1 |$ 除以 $1$ 。

$| - V + 1 | = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

解题步骤 5.3.10.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$- V + 1 = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

解题步骤 5.3.10.4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$

解题步骤 5.3.10.5

将 $- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.3.10.5.1

将 $- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- V}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.3.10.5.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.10.5.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{V}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.3.10.5.2.2

用 $V$ 除以 $1$ 。

$V = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.3.10.5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.10.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.10.5.3.1.1

移动 $\frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1}$ 中分母的负号。

$V = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.3.10.5.3.1.2

将 $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}})$ 重写为 $- (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}})$ 。

$V = - (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.3.10.5.3.1.3

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$V = - (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + 1$

解题步骤 5.4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 5.4.1

化简积分常数。

$V = - (\pm \frac{C}{t^{2}}) + 1$

解题步骤 5.4.2

用加号或减号合并常数。

$V = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$

解题步骤 6

代入 $\frac{y}{t}$ 替换 $V$ 。

$\frac{y}{t} = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$

解题步骤 7

求解 $y$ 的 $\frac{y}{t} = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$ 。

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解题步骤 7.1

两边同时乘以 $t$ 。

$\frac{y}{t} t = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

化简左边。

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解题步骤 7.2.1.1

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{t} t = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

解题步骤 7.2.1.1.2

重写表达式。

$y = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

解题步骤 7.2.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.1

化简 $(- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$ 。

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解题步骤 7.2.2.1.1

组合 $\frac{1}{t^{2}}$ 和 $C$ 。

$y = (- \frac{C}{t^{2}} + 1) t$

解题步骤 7.2.2.1.2

运用分配律。

$y = - \frac{C}{t^{2}} t + 1 t$

解题步骤 7.2.2.1.3

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1.3.1

将 $- \frac{C}{t^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$y = \frac{- C}{t^{2}} t + 1 t$

解题步骤 7.2.2.1.3.2

从 $t^{2}$ 中分解出因数 $t$ 。

$y = \frac{- C}{t \cdot t} t + 1 t$

解题步骤 7.2.2.1.3.3

约去公因数。

$y = \frac{- C}{t \cdot t} t + 1 t$

解题步骤 7.2.2.1.3.4

重写表达式。

$y = \frac{- C}{t} + 1 t$

解题步骤 7.2.2.1.4

化简表达式。

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解题步骤 7.2.2.1.4.1

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- C}{t} + t$

解题步骤 7.2.2.1.4.2

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{C}{t} + t$

解题步骤 7.2.2.1.4.3

将 $- \frac{C}{t}$ 和 $t$ 重新排序。

$y = t - \frac{C}{t}$

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