微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \log (e^{x})) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

解题步骤 1

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\sin (y) + y \cos (y)$ 。

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x (2 \log (e^{x})) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

解题步骤 1.2

约去 $\sin (y) + y \cos (y)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{2 x \log (e^{x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

解题步骤 1.2.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \log (e^{x})$ 。

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log ({(e^{x})}^{2}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

解题步骤 1.2.1.3

将 ${(e^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{x \cdot 2}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

解题步骤 1.2.1.3.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{2 x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{2 x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = x \log (e^{2 x}) + 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$(\sin (y) + y \cos (y)) d y = (x \log (e^{2 x}) + 1) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \sin (y) + y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \sin (y) d y + \int y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

解题步骤 2.2.2

$\sin (y)$ 对 $y$ 的积分为 $- \cos (y)$ 。

$- \cos (y) + C_{1} + \int y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

解题步骤 2.2.3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = y$ ， $d v = \cos (y)$ 。

$- \cos (y) + C_{1} + y \sin (y) - \int \sin (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

解题步骤 2.2.4

$\sin (y)$ 对 $y$ 的积分为 $- \cos (y)$ 。

$- \cos (y) + C_{1} + y \sin (y) - (- \cos (y) + C_{2}) = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.1

化简。

$- \cos (y) + y \sin (y) + \cos (y) + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

解题步骤 2.2.5.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.2.1

将 $- \cos (y)$ 和 $\cos (y)$ 相加。

$y \sin (y) + 0 + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

解题步骤 2.2.5.2.2

将 $y \sin (y)$ 和 $0$ 相加。

$y \sin (y) + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将 $x \log (e^{2 x}) + 1$ 重写为 $x (2 x \log (e)) + 1$ 。

$y \sin (y) + C_{3} = \int x (2 x \log (e)) + 1 d x$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$y \sin (y) + C_{3} = \int x (2 x \log (e)) d x + \int d x$

解题步骤 2.3.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 (x^{1} x) \log (e) d x + \int d x$

解题步骤 2.3.3.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 (x^{1} x^{1}) \log (e) d x + \int d x$

解题步骤 2.3.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 x^{1 + 1} \log (e) d x + \int d x$

解题步骤 2.3.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 x^{2} \log (e) d x + \int d x$

解题步骤 2.3.4

由于 $2 \log (e)$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2 \log (e)$ 移到积分外。

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) \int x^{2} d x + \int d x$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int d x$

解题步骤 2.3.6

应用常数不变法则。

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + x + C_{5}$

解题步骤 2.3.7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.7.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + x + C_{5}$

解题步骤 2.3.7.2

化简。

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{x^{3} \cdot 2 \log (e)}{3} + x + C_{6}$

解题步骤 2.3.7.3

将 $2$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{2 x^{3} \log (e)}{3} + x + C_{6}$

解题步骤 2.3.7.4

重新排序项。

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{2 \log (e)}{3} x^{3} + x + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y \sin (y) = \frac{2 \log (e)}{3} x^{3} + x + K$

微积分学 示例

微积分学示例