微积分学示例

$(y + 2 x) d y + d x = 0$

解题步骤 1

重写微分方程以符合精确微分方程方法。

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解题步骤 1.1

将 $1$ 乘以 $e^{2 y}$ 。

$d x + (y + 2 x) d y = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 1$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

解题步骤 3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = y + 2 x$ 的值。

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解题步骤 3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 2 x]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $y + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 3.2.2

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \cdot 1$

解题步骤 3.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2$

解题步骤 3.4

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

解题步骤 4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $2$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$0 = 2$

解题步骤 4.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$0 = 2$ 不是恒等式。

解题步骤 5

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 5.1

代入 $2$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 5.2

代入 $0$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{2 + 0}{M}$

解题步骤 5.3

代入 $1$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 5.3.1

代入 $1$ 替换 $M$ 。

$\frac{2 + 0}{1}$

解题步骤 5.3.2

用 $2 + 0$ 除以 $1$ 。

$2 + 0$

解题步骤 5.3.3

代入 $1$ 替换 $M$ 。

$2$

解题步骤 5.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int 2 d y}$

解题步骤 6

计算积分 $e^{\int 2 d y}$ 。

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解题步骤 6.1

应用常数不变法则。

$μ (x, y) = e^{2 y + C}$

解题步骤 6.2

化简。

$μ (x, y) = e^{2 y} + C$

解题步骤 7

在 $d x + (y + 2 x) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $e^{2 y}$ 。

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解题步骤 7.1

将 $1$ 乘以 $e^{2 y}$ 。

$d x + (y + 2 x) d y = 0$

解题步骤 7.2

将 $y + 2 x$ 乘以 $e^{2 y}$ 。

$d x + (y + 2 x) e^{2 y} d y = 0$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$d x + (y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}) d y = 0$

解题步骤 8

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int e^{2 y} d x$

解题步骤 9

对 $M (x, y) = e^{2 y}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 9.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = e^{2 y} x + C$

解题步骤 10

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = e^{2 y} x + g (y)$

解题步骤 11

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

解题步骤 12

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 12.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x + g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

解题步骤 12.2

根据加法法则， $e^{2 y} x + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [e^{2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

解题步骤 12.3

计算 $\frac{d}{d y} [e^{2 y} x]$ 。

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解题步骤 12.3.1

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $e^{2 y} x$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ 。

$x \frac{d}{d y} [e^{2 y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

解题步骤 12.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = e^{y}$ 且 $g (y) = 2 y$ 。

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解题步骤 12.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 y$ 。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

解题步骤 12.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

解题步骤 12.3.2.3

使用 $2 y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

解题步骤 12.3.3

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$x (e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

解题步骤 12.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (e^{2 y} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

解题步骤 12.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x (e^{2 y} \cdot 2) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

解题步骤 12.3.6

将 $2$ 移到 $e^{2 y}$ 的左侧。

$x (2 \cdot e^{2 y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

解题步骤 12.3.7

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 x e^{2 y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

解题步骤 12.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$2 x e^{2 y} + \frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

解题步骤 12.5

化简。

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解题步骤 12.5.1

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} + 2 e^{2 y} x = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

解题步骤 12.5.2

将 $\frac{d g}{d y} + 2 e^{2 y} x$ 中的因式重新排序。

$\frac{d g}{d y} + 2 x e^{2 y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

解题步骤 13

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 13.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d y}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 13.1.1

从等式两边同时减去 $2 x e^{2 y}$ 。

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y} - 2 x e^{2 y}$

解题步骤 13.1.2

合并 $y e^{2 y} + 2 x e^{2 y} - 2 x e^{2 y}$ 中相反的项。

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解题步骤 13.1.2.1

从 $2 x e^{2 y}$ 中减去 $2 x e^{2 y}$ 。

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 0$

解题步骤 13.1.2.2

将 $y e^{2 y}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y}$

解题步骤 14

求 $y e^{2 y}$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 14.1

对 $\frac{d g}{d y} = y e^{2 y}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y e^{2 y} d y$

解题步骤 14.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int y e^{2 y} d y$

解题步骤 14.3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = y$ ， $d v = e^{2 y}$ 。

$g (y) = y (\frac{1}{2} e^{2 y}) - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

解题步骤 14.4

化简。

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解题步骤 14.4.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 y}$ 。

$g (y) = y \frac{e^{2 y}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

解题步骤 14.4.2

组合 $y$ 和 $\frac{e^{2 y}}{2}$ 。

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

解题步骤 14.5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 y} d y)$

解题步骤 14.6

去掉圆括号。

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 y} d y$

解题步骤 14.7

使 $u = 2 y$ 。然后使 $d u = 2 d y$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 14.7.1

设 $u = 2 y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 14.7.1.1

对 $2 y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [2 y]$

解题步骤 14.7.1.2

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$2 \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 14.7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 14.7.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 14.7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 14.8

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 14.9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 14.10

化简。

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解题步骤 14.10.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

解题步骤 14.10.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

解题步骤 14.11

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

解题步骤 14.12

将 $\frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ 重写为 $\frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ 。

$g (y) = \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

解题步骤 14.13

使用 $2 y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$g (y) = \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

解题步骤 15

在 $f (x, y) = e^{2 y} x + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

解题步骤 16

化简 $f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$ 。

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解题步骤 16.1

化简每一项。

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解题步骤 16.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y$ 。

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y}{2} e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

解题步骤 16.1.2

组合 $\frac{y}{2}$ 和 $e^{2 y}$ 。

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

解题步骤 16.1.3

组合 $e^{2 y}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

解题步骤 16.2

从 $e^{2 y} x$ 中减去 $\frac{e^{2 y}}{4}$ 。

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解题步骤 16.2.1

将 $e^{2 y}$ 和 $x$ 重新排序。

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + x e^{2 y} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

解题步骤 16.2.2

要将 $x e^{2 y}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + x e^{2 y} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

解题步骤 16.2.3

组合 $x e^{2 y}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{x e^{2 y} \cdot 4}{4} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

解题步骤 16.2.4

在公分母上合并分子。

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{x e^{2 y} \cdot 4 - e^{2 y}}{4} + C$

解题步骤 16.3

化简分子。

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解题步骤 16.3.1

将 $4$ 移到 $x e^{2 y}$ 的左侧。

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{4 \cdot (x e^{2 y}) - e^{2 y}}{4} + C$

解题步骤 16.3.2

从 $4 x e^{2 y} - e^{2 y}$ 中分解出因数 $e^{2 y}$ 。

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解题步骤 16.3.2.1

从 $4 x e^{2 y}$ 中分解出因数 $e^{2 y}$ 。

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x) - e^{2 y}}{4} + C$

解题步骤 16.3.2.2

从 $- e^{2 y}$ 中分解出因数 $e^{2 y}$ 。

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x) + e^{2 y} \cdot - 1}{4} + C$

解题步骤 16.3.2.3

从 $e^{2 y} (4 x) + e^{2 y} \cdot - 1$ 中分解出因数 $e^{2 y}$ 。

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

解题步骤 16.4

要将 $\frac{y e^{2 y}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

解题步骤 16.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 16.5.1

将 $\frac{y e^{2 y}}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

解题步骤 16.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2}{4} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

解题步骤 16.6

在公分母上合并分子。

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2 + e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

解题步骤 16.7

化简分子。

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解题步骤 16.7.1

从 $y e^{2 y} \cdot 2 + e^{2 y} (4 x - 1)$ 中分解出因数 $e^{2 y}$ 。

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解题步骤 16.7.1.1

从 $y e^{2 y} \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{2 y}$ 。

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (y \cdot 2) + e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

解题步骤 16.7.1.2

从 $e^{2 y} (y \cdot 2) + e^{2 y} (4 x - 1)$ 中分解出因数 $e^{2 y}$ 。

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (y \cdot 2 + 4 x - 1)}{4} + C$

解题步骤 16.7.2

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (2 y + 4 x - 1)}{4} + C$

微积分学 示例

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