微积分学示例

$y (y^{3} - x) d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

解题步骤 1

以数学表达式书写该问题。

$y (y^{3} - x) d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = y (y^{3} - x)$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (y^{3} - x)]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = y$ 且 $g (y) = y^{3} - x$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [y^{3} - x] + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $y^{3} - x$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x]) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- x]) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.3.3

因为 $- x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2} + 0) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.3.4

将 $3 y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2}) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.4

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (y^{1} y^{2}) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{1 + 2} + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.6

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + (y^{3} - x) \cdot 1$

解题步骤 2.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.8.1

将 $y^{3} - x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + y^{3} - x$

解题步骤 2.8.2

将 $3 y^{3}$ 和 $y^{3}$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} - x$

解题步骤 3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x (y^{3} + x)$ 的值。

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解题步骤 3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (y^{3} + x)]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y^{3} + x$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [y^{3} + x] + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $y^{3} + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.2

因为 $y^{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{3}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (0 + \frac{d}{d x} [x]) + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x] + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (y^{3} + x) \cdot 1$

解题步骤 3.3.7

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.3.7.1

将 $y^{3} + x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + y^{3} + x$

解题步骤 3.3.7.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 2 x$

解题步骤 4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $4 y^{3} - x$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $y^{3} + 2 x$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$4 y^{3} - x = y^{3} + 2 x$

解题步骤 4.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$4 y^{3} - x = y^{3} + 2 x$ 不是恒等式。

解题步骤 5

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 5.1

代入 $y^{3} + 2 x$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{y^{3} + 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 5.2

代入 $4 y^{3} - x$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3} - x)}{M}$

解题步骤 5.3

代入 $y (y^{3} - x)$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 5.3.1

代入 $y (y^{3} - x)$ 替换 $M$ 。

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3} - x)}{y (y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.2

化简分子。

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解题步骤 5.3.2.1

运用分配律。

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3}) - - x}{y (y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} - - x}{y (y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.2.3

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 5.3.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} + 1 x}{y (y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.2.3.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} + x}{y (y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.2.4

从 $y^{3}$ 中减去 $4 y^{3}$ 。

$\frac{- 3 y^{3} + 2 x + x}{y (y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.2.5

将 $2 x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{- 3 y^{3} + 3 x}{y (y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.2.6

从 $- 3 y^{3} + 3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 5.3.2.6.1

从 $- 3 y^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 x}{y (y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.2.6.2

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 (x)}{y (y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.2.6.3

从 $3 (- y^{3}) + 3 (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- y^{3} + x)}{y (y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.3

约去 $- y^{3} + x$ 和 $y^{3} - x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $- y^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (y^{3}) + x)}{y (y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.3.2

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (y^{3}) - 1 (- x))}{y (y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.3.3

从 $- (y^{3}) - 1 (- x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.3.4

将 $- (y^{3} - x)$ 重写为 $- 1 (y^{3} - x)$ 。

$\frac{3 (- 1 (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.3.5

约去公因数。

$\frac{3 (- 1 (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.3.6

重写表达式。

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

解题步骤 5.3.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 3}{y}$

解题步骤 5.3.5

代入 $y (y^{3} - x)$ 替换 $M$ 。

$- \frac{3}{y}$

解题步骤 5.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

解题步骤 6

计算积分 $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ 。

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解题步骤 6.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

解题步骤 6.2

由于 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

解题步骤 6.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

解题步骤 6.4

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

解题步骤 6.5

化简。

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

解题步骤 6.6

化简每一项。

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解题步骤 6.6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 3 \ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

解题步骤 6.6.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

解题步骤 6.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

解题步骤 7

在 $y (y^{3} - x) d x + x (y^{3} + x) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

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解题步骤 7.1

将 $y (y^{3} - x)$ 乘以 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y^{3}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

解题步骤 7.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

从 $y^{3}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

解题步骤 7.2.2

约去公因数。

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

解题步骤 7.2.3

重写表达式。

$(y^{3} - x) \frac{1}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

解题步骤 7.3

将 $y^{3} - x$ 乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

解题步骤 7.4

将 $x (y^{3} + x)$ 乘以 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

解题步骤 7.5

运用分配律。

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + (x y^{3} + x \cdot x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

解题步骤 7.6

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + (x y^{3} + x^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

解题步骤 7.7

将 $x y^{3} + x^{2}$ 乘以 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x y^{3} + x^{2}}{y^{3}} d y = 0$

解题步骤 7.8

从 $x y^{3} + x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 7.8.1

从 $x y^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3}) + x^{2}}{y^{3}} d y = 0$

解题步骤 7.8.2

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3}) + x \cdot x}{y^{3}} d y = 0$

解题步骤 7.8.3

从 $x (y^{3}) + x \cdot x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}} d y = 0$

解题步骤 8

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x$

解题步骤 9

对 $M (x, y) = \frac{y^{3} - x}{y^{2}}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 9.1

由于 $\frac{1}{y^{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{y^{2}}$ 移到积分外。

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} \int y^{3} - x d x$

解题步骤 9.2

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (\int y^{3} d x + \int - x d x)$

解题步骤 9.3

应用常数不变法则。

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C + \int - x d x)$

解题步骤 9.4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C - \int x d x)$

解题步骤 9.5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

解题步骤 9.6

化简。

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 10

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$

解题步骤 11

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 12.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.2

根据加法法则， $\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.3

计算 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})]$ 。

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解题步骤 12.3.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = \frac{1}{y^{2}}$ 且 $g (y) = y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}] + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.3.3

根据加法法则， $y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]$ 。

$\frac{1}{y^{2}} (\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.3.4

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $y^{3} x$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 。

$\frac{1}{y^{2}} (x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.3.6

因为 $- \frac{x^{2}}{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- \frac{x^{2}}{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.3.7

将 $\frac{1}{y^{2}}$ 重写为 ${(y^{2})}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.3.8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{- 1}$ 且 $g (y) = y^{2}$ 。

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解题步骤 12.3.8.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y^{2}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.3.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.3.8.3

使用 $y^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.3.10

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{1}{y^{2}} (3 \cdot x y^{2} + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.3.11

将 $3 x y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{y^{2}} (3 x y^{2}) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.3.12

组合 $3$ 和 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{3}{y^{2}} (x y^{2}) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.3.13

组合 $x$ 和 $\frac{3}{y^{2}}$ 。

$\frac{x \cdot 3}{y^{2}} y^{2} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.3.14

组合 $\frac{x \cdot 3}{y^{2}}$ 和 $y^{2}$ 。

$\frac{x \cdot 3 y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.3.15

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot x y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.3.16

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.16.1

约去公因数。

$\frac{3 x y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.3.16.2

用 $3 x$ 除以 $1$ 。

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.3.17

将 ${(y^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 12.3.17.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.3.17.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.3.18

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.3.19

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.3.20

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.3.21

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 3}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.5

化简。

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解题步骤 12.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.5.2

运用分配律。

$3 x + y^{3} x (- 2 \frac{1}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.5.3

合并项。

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解题步骤 12.5.3.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

$3 x + y^{3} x \frac{- 2}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.5.3.2

将负号移到分数的前面。

$3 x + y^{3} x (- \frac{2}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.5.3.3

组合 $y^{3}$ 和 $\frac{2}{y^{3}}$ 。

$3 x + x (- \frac{y^{3} \cdot 2}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.5.3.4

组合 $x$ 和 $\frac{y^{3} \cdot 2}{y^{3}}$ 。

$3 x - \frac{x (y^{3} \cdot 2)}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.5.3.5

将 $2$ 移到 $y^{3}$ 的左侧。

$3 x - \frac{x (2 \cdot y^{3})}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.5.3.6

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$3 x - \frac{2 \cdot x y^{3}}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.5.3.7

约去 $y^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 12.5.3.7.1

约去公因数。

$3 x - \frac{2 x y^{3}}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.5.3.7.2

用 $2 x$ 除以 $1$ 。

$3 x - (2 x) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.5.3.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.5.3.9

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{- 2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.5.3.10

将负号移到分数的前面。

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} (- \frac{2}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.5.3.11

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$3 x - 2 x + 1 \frac{x^{2}}{2} \frac{2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.5.3.12

将 $\frac{x^{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$3 x - 2 x + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.5.3.13

将 $\frac{x^{2}}{2}$ 乘以 $\frac{2}{y^{3}}$ 。

$3 x - 2 x + \frac{x^{2} \cdot 2}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.5.3.14

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$3 x - 2 x + \frac{2 \cdot x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.5.3.15

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.5.3.15.1

约去公因数。

$3 x - 2 x + \frac{2 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.5.3.15.2

重写表达式。

$3 x - 2 x + \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.5.3.16

从 $3 x$ 中减去 $2 x$ 。

$x + \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 12.5.4

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2}}{y^{3}} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

解题步骤 13

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 13.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 13.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$ 。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2}}{y^{3}} - \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}} = 0$

解题步骤 13.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x (y^{3} + x)}{y^{3}} = 0$

解题步骤 13.1.3

化简每一项。

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解题步骤 13.1.3.1

运用分配律。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - x \cdot x}{y^{3}} = 0$

解题步骤 13.1.3.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 13.1.3.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - (x \cdot x)}{y^{3}} = 0$

解题步骤 13.1.3.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - x^{2}}{y^{3}} = 0$

解题步骤 13.1.4

合并 $x^{2} - x y^{3} - x^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 13.1.4.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3} + 0}{y^{3}} = 0$

解题步骤 13.1.4.2

将 $- x y^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3}}{y^{3}} = 0$

解题步骤 13.1.5

约去 $y^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.5.1

约去公因数。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3}}{y^{3}} = 0$

解题步骤 13.1.5.2

用 $- x$ 除以 $1$ 。

$\frac{d g}{d y} + x - x = 0$

解题步骤 13.1.6

合并 $\frac{d g}{d y} + x - x$ 中相反的项。

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解题步骤 13.1.6.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

解题步骤 13.1.6.2

将 $\frac{d g}{d y}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = 0$

解题步骤 14

求 $0$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 14.1

对 $\frac{d g}{d y} = 0$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

解题步骤 14.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int 0 d y$

解题步骤 14.3

$0$ 对 $y$ 的积分为 $0$ 。

$g (y) = 0 + C$

解题步骤 14.4

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$g (y) = C$

解题步骤 15

在 $f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 16

化简每一项。

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解题步骤 16.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) + C$

解题步骤 16.2

将 $\frac{1}{y^{2}}$ 乘以 $y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}}{y^{2}} + C$

解题步骤 16.3

化简分子。

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解题步骤 16.3.1

从 $y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 16.3.1.1

从 $y^{3} x$ 中分解出因数 $x$ 。

$f (x, y) = \frac{x y^{3} - \frac{x^{2}}{2}}{y^{2}} + C$

解题步骤 16.3.1.2

从 $- \frac{x^{2}}{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x (- \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

解题步骤 16.3.1.3

从 $x y^{3} + x (- \frac{x}{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

解题步骤 16.3.2

要将 $y^{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

解题步骤 16.3.3

组合 $y^{3}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{x (\frac{y^{3} \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

解题步骤 16.3.4

在公分母上合并分子。

$f (x, y) = \frac{x \frac{y^{3} \cdot 2 - x}{2}}{y^{2}} + C$

解题步骤 16.3.5

将 $2$ 移到 $y^{3}$ 的左侧。

$f (x, y) = \frac{x \frac{2 y^{3} - x}{2}}{y^{2}} + C$

解题步骤 16.4

组合 $x$ 和 $\frac{2 y^{3} - x}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{\frac{x (2 y^{3} - x)}{2}}{y^{2}} + C$

解题步骤 16.5

将分子乘以分母的倒数。

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x)}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C$

解题步骤 16.6

合并。

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x) \cdot 1}{2 y^{2}} + C$

解题步骤 16.7

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x)}{2 y^{2}} + C$

微积分学 示例

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