微积分学示例

$e^{x} (y - 1) d x + 2 (e^{x} + 4) d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $e^{x} (y - 1) d x$ 。

$2 (e^{x} + 4) d y = - e^{x} (y - 1) d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ 。

$\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (2 (e^{x} + 4)) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

解题步骤 3.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ 。

$\frac{2}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

解题步骤 3.3

约去 $e^{x} + 4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

约去公因数。

$\frac{2}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

解题步骤 3.3.2

重写表达式。

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

解题步骤 3.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2}{y - 1} d y = - \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} (y - 1)) d x$

解题步骤 3.5

约去 $y - 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

将 $- \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} (y - 1)) d x$

解题步骤 3.5.2

从 $(e^{x} + 4) (y - 1)$ 中分解出因数 $y - 1$ 。

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} (e^{x} (y - 1)) d x$

解题步骤 3.5.3

从 $e^{x} (y - 1)$ 中分解出因数 $y - 1$ 。

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} ((y - 1) e^{x}) d x$

解题步骤 3.5.4

约去公因数。

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} ((y - 1) e^{x}) d x$

解题步骤 3.5.5

重写表达式。

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{e^{x} + 4} e^{x} d x$

解题步骤 3.6

组合 $\frac{- 1}{e^{x} + 4}$ 和 $e^{x}$ 。

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{y - 1} d y = - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{2}{y - 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

解题步骤 4.2.2

使 $u_{1} = y - 1$ 。然后使 $d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 4.2.2.1

设 $u_{1} = y - 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $y - 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

解题步骤 4.2.2.1.2

根据加法法则， $y - 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 4.2.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 4.2.2.1.4

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.2.2.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4.2.2.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

解题步骤 4.2.3

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$2 (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

解题步骤 4.2.4

化简。

$2 \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

解题步骤 4.2.5

使用 $y - 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

解题步骤 4.3.2

使 $u_{2} = e^{x} + 4$ 。然后使 $d u_{2} = e^{x} d x$ ，以便 $\frac{1}{e^{x}} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.2.1

设 $u_{2} = e^{x} + 4$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $e^{x} + 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]$

解题步骤 4.3.2.1.2

根据加法法则， $e^{x} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.3.2.1.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.3.2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.3.2.1.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{x} + 0$

解题步骤 4.3.2.1.4.2

将 $e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$e^{x}$

解题步骤 4.3.2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 4.3.3

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

解题步骤 4.3.4

化简。

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

解题步骤 4.3.5

使用 $e^{x} + 4$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \ln (| e^{x} + 4 |) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$2 \ln (| y - 1 |) = - \ln (| e^{x} + 4 |) + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$2 \ln (| y - 1 |) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

化简 $2 \ln (| y - 1 |) + \ln (| e^{x} + 4 |)$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| y - 1 |)$ 。

$\ln ({| y - 1 |}^{2}) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

解题步骤 5.2.1.1.2

去掉 ${| y - 1 |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\ln ({(y - 1)}^{2}) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

解题步骤 5.2.1.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln ({(y - 1)}^{2} | e^{x} + 4 |) = C$

解题步骤 5.2.1.3

将 $\ln ({(y - 1)}^{2} | e^{x} + 4 |)$ 中的因式重新排序。

$\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2}) = C$

解题步骤 5.3

展开 $\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2})$ 。

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解题步骤 5.3.1

将 $\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2})$ 重写为 $\ln (| e^{x} + 4 |) + \ln ({(y - 1)}^{2})$ 。

$\ln (| e^{x} + 4 |) + \ln ({(y - 1)}^{2})$

解题步骤 5.3.2

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln ({(y - 1)}^{2})$ 。

$\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1)$

解题步骤 5.4

展开的方程为 $\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1) = C$ 。

$\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1) = C$

解题步骤 5.5

从等式两边同时减去 $\ln (| e^{x} + 4 |)$ 。

$2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$

解题步骤 5.6

将 $2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.6.1

将 $2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \ln (y - 1)}{2} = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

解题步骤 5.6.2

化简左边。

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解题步骤 5.6.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \ln (y - 1)}{2} = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

解题步骤 5.6.2.1.2

用 $\ln (y - 1)$ 除以 $1$ 。

$\ln (y - 1) = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

解题步骤 5.6.3

化简右边。

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解题步骤 5.6.3.1

将负号移到分数的前面。

$\ln (y - 1) = \frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

解题步骤 5.7

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (y - 1)} = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

解题步骤 5.8

使用对数的定义将 $\ln (y - 1) = \frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} = y - 1$

解题步骤 5.9

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.9.1

将方程重写为 $y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ 。

$y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

解题步骤 5.9.2

化简 $e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ 。

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解题步骤 5.9.2.1

重写。

$y - 1 = 0 + 0 + e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

解题步骤 5.9.2.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

解题步骤 5.9.2.3

在公分母上合并分子。

$y - 1 = e^{\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

解题步骤 5.9.3

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.9.3.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = e^{\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

解题步骤 5.9.3.2

化简每一项。

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解题步骤 5.9.3.2.1

分解分数 $\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$ 成为两个分数。

$y = e^{\frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

解题步骤 5.9.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$y = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

解题步骤 6

将常数项组合在一起。

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解题步骤 6.1

化简积分常数。

$y = e^{C - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

解题步骤 6.2

重新排序项。

$y = e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2} + C} + 1$

解题步骤 6.3

将 $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2} + C}$ 重写为 $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} e^{C}$ 。

$y = e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} e^{C} + 1$

解题步骤 6.4

将 $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = e^{C} e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

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