微积分学示例

$d x + 3 x^{2} y^{2} d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $d x$ 。

$3 x^{2} y^{2} d y = - d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{1}{x^{2}} (3 x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用乘法的交换性质重写。

$3 \frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

解题步骤 3.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

解题步骤 3.3

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

从 $x^{2} y^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

解题步骤 3.3.2

约去公因数。

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

解题步骤 3.3.3

重写表达式。

$3 y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

解题步骤 3.4

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $- 1$ 。

$3 y^{2} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.5

将负号移到分数的前面。

$3 y^{2} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int 3 y^{2} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

由于 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int y^{2} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2.2

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2.3

化简答案。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ 重写为 $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ 。

$3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2.3.2

化简。

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解题步骤 4.2.3.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2.3.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2.3.2.2.2

重写表达式。

$1 y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2.3.2.3

将 $y^{3}$ 乘以 $1$ 。

$y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.3.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.3.2.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$y^{3} + C_{1} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 4.3.2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{3} + C_{1} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.3.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y^{3} + C_{1} = - \int x^{- 2} d x$

解题步骤 4.3.3

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$y^{3} + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2})$

解题步骤 4.3.4

化简答案。

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解题步骤 4.3.4.1

将 $- (- x^{- 1} + C_{2})$ 重写为 $- - \frac{1}{x} + C_{2}$ 。

$y^{3} + C_{1} = - - \frac{1}{x} + C_{2}$

解题步骤 4.3.4.2

化简。

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解题步骤 4.3.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y^{3} + C_{1} = 1 \frac{1}{x} + C_{2}$

解题步骤 4.3.4.2.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$y^{3} + C_{1} = \frac{1}{x} + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y^{3} = \frac{1}{x} + K$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{x} + K}$

解题步骤 5.2

化简 $\sqrt[3]{\frac{1}{x} + K}$ 。

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解题步骤 5.2.1

要将 $K$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{K x}{x}}$

解题步骤 5.2.2

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt[3]{\frac{1 + K x}{x}}$

解题步骤 5.2.3

将 $\sqrt[3]{\frac{1 + K x}{x}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$

解题步骤 5.2.4

将 $\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

解题步骤 5.2.5

合并和化简分母。

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解题步骤 5.2.5.1

将 $\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

解题步骤 5.2.5.2

对 $\sqrt[3]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

解题步骤 5.2.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

解题步骤 5.2.5.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

解题步骤 5.2.5.5

将 ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 5.2.5.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 5.2.5.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 5.2.5.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 5.2.5.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.5.5.4.1

约去公因数。

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 5.2.5.5.4.2

重写表达式。

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

解题步骤 5.2.5.5.5

化简。

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

解题步骤 5.2.6

将 ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

解题步骤 5.2.7

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \frac{\sqrt[3]{(1 + K x) x^{2}}}{x}$

解题步骤 5.2.8

将 $\frac{\sqrt[3]{(1 + K x) x^{2}}}{x}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} (1 + K x)}}{x}$

微积分学 示例

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