微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{2}}{1 - x}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 - x} y^{2}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (\frac{x^{2}}{1 - x} y^{2})$

解题步骤 1.3

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

从 $\frac{x^{2}}{1 - x} y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{x^{2}}{1 - x})$

解题步骤 1.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{x^{2}}{1 - x})$

解题步骤 1.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 - x}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{x^{2}}{1 - x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{x^{2}}{1 - x} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

通过将 $y^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 - x} d x$

解题步骤 2.2.1.2

将 ${(y^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 - x} d x$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{x^{2}}{1 - x} d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{- 2}$ 对 $y$ 的积分是 $- y^{- 1}$ 。

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{1 - x} d x$

解题步骤 2.2.3

将 $- y^{- 1} + C_{1}$ 重写为 $- \frac{1}{y} + C_{1}$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{1 - x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将 $1$ 和 $- x$ 重新排序。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{- x + 1} d x$

解题步骤 2.3.2

用 $x^{2}$ 除以 $- x + 1$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 2.3.2.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $- x$ 。

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

解题步骤 2.3.2.3

将新的商式项乘以除数。

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				+	$x^{2}$	-	$x$

解题步骤 2.3.2.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} - x$ 中的所有符号

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 2.3.2.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$

解题步骤 2.3.2.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$

解题步骤 2.3.2.7

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $- x$ 。

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$

解题步骤 2.3.2.8

将新的商式项乘以除数。

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$
						+	$x$	-	$1$

解题步骤 2.3.2.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x - 1$ 中的所有符号

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$
						-	$x$	+	$1$

解题步骤 2.3.2.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$
						-	$x$	+	$1$
								+	$1$

解题步骤 2.3.2.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - x - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

解题步骤 2.3.3

将单个积分拆分为多个积分。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

解题步骤 2.3.4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

解题步骤 2.3.6

应用常数不变法则。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - x + C_{3} + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

解题步骤 2.3.7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3} + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

解题步骤 2.3.8

使 $u = - x + 1$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.8.1

设 $u = - x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.8.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 2.3.8.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.3.8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3} + \int \frac{- 1}{u} d u$

解题步骤 2.3.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3} + \int - \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.10

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3} - \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.11

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3} - (\ln (| u |) + C_{4})$

解题步骤 2.3.12

化简。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - x - \ln (| u |) + C_{5}$

解题步骤 2.3.13

使用 $- x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - x - \ln (| - x + 1 |) + C_{5}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \frac{1}{y} = - \frac{1}{2} x^{2} - x - \ln (| - x + 1 |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

化简 $- \frac{1}{2} x^{2} - x - \ln (| - x + 1 |) + C$ 。

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解题步骤 3.1.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{y} = - \frac{x^{2}}{2} - x - \ln (| - x + 1 |) + C$

解题步骤 3.1.2

要将 $- \ln (| - x + 1 |)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{y} = - x - \frac{x^{2}}{2} - \ln (| - x + 1 |) \cdot \frac{2}{2} + C$

解题步骤 3.1.3

化简项。

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解题步骤 3.1.3.1

组合 $- \ln (| - x + 1 |)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{y} = - x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln (| - x + 1 |) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 3.1.3.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{y} = - x + \frac{- x^{2} - \ln (| - x + 1 |) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 3.1.4

化简分子。

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解题步骤 3.1.4.1

乘以 $- \ln (| - x + 1 |) \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.1.4.1.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{y} = - x + \frac{- x^{2} - 2 \ln (| - x + 1 |)}{2} + C$

解题步骤 3.1.4.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (| - x + 1 |)$ 。

$- \frac{1}{y} = - x + \frac{- x^{2} - \ln ({| - x + 1 |}^{2})}{2} + C$

解题步骤 3.1.4.2

去掉 ${| - x + 1 |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$- \frac{1}{y} = - x + \frac{- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})}{2} + C$

解题步骤 3.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y, 1, 2, 1$

解题步骤 3.2.2

由于 $y, 1, 2, 1$ 同时包括数值与变量，求最小公倍数的过程包含两步。求数值部分 $1, 1, 2, 1$ 的最小公倍数，然后求变量部分 $y^{1}$ 的最小公倍数。

解题步骤 3.2.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 3.2.4

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 3.2.5

因为除了 $1$ 和 $2$ 之外， $2$ 没有其他因数。

$2$ 是一个质数

解题步骤 3.2.6

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 3.2.7

$1, 1, 2, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$2$

解题步骤 3.2.8

$y^{1}$ 的因式是 $y$ 本身。

$y^{1} = y$

$y$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 3.2.9

$y^{1}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$y$

解题步骤 3.2.10

$y, 1, 2, 1$ 的最小公倍数为数字部分 $2$ 乘以变量部分。

$2 y$

解题步骤 3.3

将 $- \frac{1}{y} = - x + \frac{- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})}{2} + C$ 中的每一项乘以 $2 y$ 以消去分数。

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解题步骤 3.3.1

将 $- \frac{1}{y} = - x + \frac{- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})}{2} + C$ 中的每一项乘以 $2 y$ 。

$- \frac{1}{y} (2 y) = - x (2 y) + \frac{- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})}{2} (2 y) + C (2 y)$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 $- \frac{1}{y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{y} (2 y) = - x (2 y) + \frac{- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})}{2} (2 y) + C (2 y)$

解题步骤 3.3.2.1.2

从 $2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = - x (2 y) + \frac{- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})}{2} (2 y) + C (2 y)$

解题步骤 3.3.2.1.3

约去公因数。

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = - x (2 y) + \frac{- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})}{2} (2 y) + C (2 y)$

解题步骤 3.3.2.1.4

重写表达式。

$- 1 \cdot 2 = - x (2 y) + \frac{- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})}{2} (2 y) + C (2 y)$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 = - x (2 y) + \frac{- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})}{2} (2 y) + C (2 y)$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$- 2 = - 1 \cdot 2 x y + \frac{- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})}{2} (2 y) + C (2 y)$

解题步骤 3.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 = - 2 x y + \frac{- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})}{2} (2 y) + C (2 y)$

解题步骤 3.3.3.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$- 2 = - 2 x y + 2 \frac{- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})}{2} y + C (2 y)$

解题步骤 3.3.3.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.4.1

约去公因数。

$- 2 = - 2 x y + 2 \frac{- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})}{2} y + C (2 y)$

解题步骤 3.3.3.1.4.2

重写表达式。

$- 2 = - 2 x y + (- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})) y + C (2 y)$

解题步骤 3.3.3.1.5

运用分配律。

$- 2 = - 2 x y - x^{2} y - \ln ({(- x + 1)}^{2}) y + C (2 y)$

解题步骤 3.3.3.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$- 2 = - 2 x y - x^{2} y - \ln ({(- x + 1)}^{2}) y + 2 C y$

解题步骤 3.3.3.2

将 $- 2 x y - x^{2} y - \ln ({(- x + 1)}^{2}) y + 2 C y$ 中的因式重新排序。

$- 2 = - 2 x y - x^{2} y - y \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C y$

解题步骤 3.4

求解方程。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $- 2 x y - x^{2} y - y \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C y = - 2$ 。

$- 2 x y - x^{2} y - y \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C y = - 2$

解题步骤 3.4.2

从 $- 2 x y - x^{2} y - y \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

从 $- 2 x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (- 2 x) - x^{2} y - y \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C y = - 2$

解题步骤 3.4.2.2

从 $- x^{2} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (- 2 x) + y (- x^{2}) - y \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C y = - 2$

解题步骤 3.4.2.3

从 $- y \ln ({(- x + 1)}^{2})$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (- 2 x) + y (- x^{2}) + y (- 1 \ln ({(- x + 1)}^{2})) + 2 C y = - 2$

解题步骤 3.4.2.4

从 $2 C y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (- 2 x) + y (- x^{2}) + y (- 1 \ln ({(- x + 1)}^{2})) + y (2 C) = - 2$

解题步骤 3.4.2.5

从 $y (- 2 x) + y (- x^{2})$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (- 2 x - x^{2}) + y (- 1 \ln ({(- x + 1)}^{2})) + y (2 C) = - 2$

解题步骤 3.4.2.6

从 $y (- 2 x - x^{2}) + y (- 1 \ln ({(- x + 1)}^{2}))$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (- 2 x - x^{2} - 1 \ln ({(- x + 1)}^{2})) + y (2 C) = - 2$

解题步骤 3.4.2.7

从 $y (- 2 x - x^{2} - 1 \ln ({(- x + 1)}^{2})) + y (2 C)$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (- 2 x - x^{2} - 1 \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C) = - 2$

解题步骤 3.4.3

将 $- 1 \ln ({(- x + 1)}^{2})$ 重写为 $- \ln ({(- x + 1)}^{2})$ 。

$y (- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C) = - 2$

解题步骤 3.4.4

将 $y (- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C) = - 2$ 中的每一项除以 $- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C$ 并化简。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $y (- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C) = - 2$ 中的每一项都除以 $- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C$ 。

$\frac{y (- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C)}{- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C} = \frac{- 2}{- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C}$

解题步骤 3.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.4.2.1

约去 $- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C)}{- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C} = \frac{- 2}{- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C}$

解题步骤 3.4.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- 2}{- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C}$

解题步骤 3.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.4.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{2}{- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C}$

解题步骤 3.4.4.3.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = - \frac{2}{- (2 x) - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C}$

解题步骤 3.4.4.3.3

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = - \frac{2}{- (2 x) - (x^{2}) - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C}$

解题步骤 3.4.4.3.4

从 $- (2 x) - (x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = - \frac{2}{- (2 x + x^{2}) - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C}$

解题步骤 3.4.4.3.5

从 $- \ln ({(- x + 1)}^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = - \frac{2}{- (2 x + x^{2}) - (\ln ({(- x + 1)}^{2})) + 2 C}$

解题步骤 3.4.4.3.6

从 $- (2 x + x^{2}) - (\ln ({(- x + 1)}^{2}))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = - \frac{2}{- (2 x + x^{2} + \ln ({(- x + 1)}^{2})) + 2 C}$

解题步骤 3.4.4.3.7

从 $2 C$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = - \frac{2}{- (2 x + x^{2} + \ln ({(- x + 1)}^{2})) - (- 2 C)}$

解题步骤 3.4.4.3.8

从 $- (2 x + x^{2} + \ln ({(- x + 1)}^{2})) - (- 2 C)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = - \frac{2}{- (2 x + x^{2} + \ln ({(- x + 1)}^{2}) - 2 C)}$

解题步骤 3.4.4.3.9

化简表达式。

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解题步骤 3.4.4.3.9.1

将 $- (2 x + x^{2} + \ln ({(- x + 1)}^{2}) - 2 C)$ 重写为 $- 1 (2 x + x^{2} + \ln ({(- x + 1)}^{2}) - 2 C)$ 。

$y = - \frac{2}{- 1 (2 x + x^{2} + \ln ({(- x + 1)}^{2}) - 2 C)}$

解题步骤 3.4.4.3.9.2

将负号移到分数的前面。

$y = - - \frac{2}{2 x + x^{2} + \ln ({(- x + 1)}^{2}) - 2 C}$

解题步骤 3.4.4.3.9.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y = 1 \frac{2}{2 x + x^{2} + \ln ({(- x + 1)}^{2}) - 2 C}$

解题步骤 3.4.4.3.9.4

将 $\frac{2}{2 x + x^{2} + \ln ({(- x + 1)}^{2}) - 2 C}$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{2}{2 x + x^{2} + \ln ({(- x + 1)}^{2}) - 2 C}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{2}{2 x + x^{2} + \ln ({(- x + 1)}^{2}) + C}$

微积分学 示例

微积分学示例