微积分学示例

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 4 x y^{2}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{2}} (4 x y^{2})$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = 4 \frac{1}{y^{2}} (x y^{2})$

解题步骤 1.2.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (x y^{2})$

解题步骤 1.2.3

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1

从 $x y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} x)$

解题步骤 1.2.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} x)$

解题步骤 1.2.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = 4 x$

解题步骤 1.3

去掉多余的括号。

$\frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 4 x$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) d y = 4 x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $\frac{1}{y^{2}}$ 重写为 ${(y^{2})}^{- 1}$ 。

$\int {(y^{2})}^{- 1} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

解题步骤 2.2.1.2

将 ${(y^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int y^{2 \cdot - 1} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int y^{- 2} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

解题步骤 2.2.2

乘以 $y^{- 2} (y^{2} - 1)$ 。

$\int y^{- 2} y^{2} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

通过指数相加将 $y^{- 2}$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int y^{- 2 + 2} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

解题步骤 2.2.3.1.2

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$\int y^{0} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

解题步骤 2.2.3.2

化简 $y^{0}$ 。

$\int 1 + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

解题步骤 2.2.3.3

将 $- 1$ 移到 $y^{- 2}$ 的左侧。

$\int 1 - 1 \cdot y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

解题步骤 2.2.3.4

将 $- 1 y^{- 2}$ 重写为 $- y^{- 2}$ 。

$\int 1 - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

解题步骤 2.2.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d y + \int - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

解题步骤 2.2.5

应用常数不变法则。

$y + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

解题步骤 2.2.6

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

解题步骤 2.2.7

根据幂法则， $y^{- 2}$ 对 $y$ 的积分是 $- y^{- 1}$ 。

$y + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int 4 x d x$

解题步骤 2.2.8

化简。

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解题步骤 2.2.8.1

化简。

$y - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

解题步骤 2.2.8.2

化简。

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解题步骤 2.2.8.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

解题步骤 2.2.8.2.2

将 $\frac{1}{y}$ 乘以 $1$ 。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 \int x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ 重写为 $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ 。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.3.2.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.2

约去公因数。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.3

重写表达式。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 2 x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, y, 1, 1$

解题步骤 3.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y$

解题步骤 3.2

将 $y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$ 中的每一项乘以 $y$ 以消去分数。

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解题步骤 3.2.1

将 $y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$ 中的每一项乘以 $y$ 。

$y \cdot y + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$y^{2} + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

解题步骤 3.2.2.1.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.2.1

约去公因数。

$y^{2} + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

解题步骤 3.2.2.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} + 1 = 2 x^{2} y + K y$

解题步骤 3.3

求解方程。

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解题步骤 3.3.1

因为 $y$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$2 x^{2} y + K y = y^{2} + 1$

解题步骤 3.3.2

从等式两边同时减去 $y^{2}$ 。

$2 x^{2} y + K y - y^{2} = 1$

解题步骤 3.3.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 x^{2} y + K y - y^{2} - 1 = 0$

解题步骤 3.3.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.3.5

将 $a = - 1$ 、 $b = 2 x^{2} + K$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{- (2 x^{2} + K) \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.6

化简。

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解题步骤 3.3.6.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.6.1.1

运用分配律。

$y = \frac{- (2 x^{2}) - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.6.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.6.1.3

将 ${(2 x^{2} + K)}^{2}$ 重写为 $(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)$ 。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.6.1.4

使用 FOIL 方法展开 $(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)$ 。

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解题步骤 3.3.6.1.4.1

运用分配律。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2} + K) + K (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.6.1.4.2

运用分配律。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.6.1.4.3

运用分配律。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.6.1.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.6.1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.6.1.5.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.6.1.5.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.6.1.5.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.6.1.5.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.6.1.5.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.6.1.5.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.6.1.5.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + 2 K x^{2} + K \cdot K - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.6.1.5.1.5

将 $K$ 乘以 $K$ 。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + 2 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.6.1.5.2

将 $2 x^{2} K$ 和 $2 K x^{2}$ 相加。

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解题步骤 3.3.6.1.5.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 K x^{2} + 2 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.6.1.5.2.2

将 $2 K x^{2}$ 和 $2 K x^{2}$ 相加。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.6.1.6

乘以 $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.3.6.1.6.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} + 4 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.6.1.6.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.6.1.7

以因式分解的形式重写 $4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4$ 。

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解题步骤 3.3.6.1.7.1

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 3.3.6.1.7.1.1

将 $4 x^{4}$ 重写为 ${(2 x^{2})}^{2}$ 。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2})}^{2} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.6.1.7.1.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$4 K x^{2} = 2 \cdot (2 x^{2}) \cdot K$

解题步骤 3.3.6.1.7.1.3

重写多项式。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2})}^{2} + 2 \cdot (2 x^{2}) \cdot K + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.6.1.7.1.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = 2 x^{2}$ 和 $b = K$ 。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.6.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 2^{2}}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.6.1.7.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2 x^{2} + K$ 和 $b = 2$ 。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{- 2}$

解题步骤 3.3.6.3

化简 $\frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{- 2}$ 。

$y = \frac{2 x^{2} + K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

解题步骤 3.3.7

最终答案为两个解的组合。

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)}}{2}$

微积分学 示例

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