微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x^{- 2} y^{- 2}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{- 2}}$ 。

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (x^{- 2} y^{- 2})$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

约去 $y^{- 2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $x^{- 2} y^{- 2}$ 中分解出因数 $y^{- 2}$ 。

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} x^{- 2})$

解题步骤 1.2.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} x^{- 2})$

解题步骤 1.2.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = x^{- 2}$

解题步骤 1.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y^{- 2}} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{- 2}} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ 将 $y^{- 2}$ 移动到分子。

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.1.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.1.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3

将 $- x^{- 1} + C_{2}$ 重写为 $- \frac{1}{x} + C_{2}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{x} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $3 (- \frac{1}{x} + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

运用分配律。

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{x}) + 3 K$

解题步骤 3.2.2.1.2

乘以 $3 (- \frac{1}{x})$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$y^{3} = - 3 \frac{1}{x} + 3 K$

解题步骤 3.2.2.1.2.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$y^{3} = \frac{- 3}{x} + 3 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

将负号移到分数的前面。

$y^{3} = - \frac{3}{x} + 3 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{- \frac{3}{x} + 3 K}$

解题步骤 3.4

化简 $\sqrt[3]{- \frac{3}{x} + 3 K}$ 。

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解题步骤 3.4.1

从 $- \frac{3}{x} + 3 K$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

从 $- \frac{3}{x}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x}) + 3 K}$

解题步骤 3.4.1.2

从 $3 K$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x}) + 3 K}$

解题步骤 3.4.1.3

从 $3 (- \frac{1}{x}) + 3 K$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x} + K)}$

解题步骤 3.4.2

要将 $K$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x} + \frac{K x}{x})}$

解题步骤 3.4.3

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- 1 + K x}{x}}$

解题步骤 3.4.4

组合 $3$ 和 $\frac{- 1 + K x}{x}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + K x)}{x}}$

解题步骤 3.4.5

将 $\sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + K x)}{x}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$

解题步骤 3.4.6

将 $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

解题步骤 3.4.7

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.7.1

将 $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

解题步骤 3.4.7.2

对 $\sqrt[3]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

解题步骤 3.4.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

解题步骤 3.4.7.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

解题步骤 3.4.7.5

将 ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 3.4.7.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 3.4.7.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 3.4.7.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.4.7.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.7.5.4.1

约去公因数。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.4.7.5.4.2

重写表达式。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

解题步骤 3.4.7.5.5

化简。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

解题步骤 3.4.8

将 ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

解题步骤 3.4.9

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x) x^{2}}}{x}$

解题步骤 3.4.10

将 $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x) x^{2}}}{x}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$

微积分学 示例

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