微积分学示例

$\frac{d v}{d t} = 16 t - \sec^{2} (t)$ , $v (π) = - 3$

解题步骤 1

重写该方程。

$d v = (16 t - \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d v = \int 16 t - \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$v + C_{1} = \int 16 t - \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$v + C_{1} = \int 16 t d t + \int - \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3.2

由于 $16$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $16$ 移到积分外。

$v + C_{1} = 16 \int t d t + \int - \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3.4

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \int \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3.5

因为 $\tan (t)$ 的导数为 $\sec^{2} (t)$ ，所以 $\sec^{2} (t)$ 的积分为 $\tan (t)$ 。

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - (\tan (t) + C_{3})$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

化简。

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2}) t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2

化简。

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解题步骤 2.3.6.2.1

组合 $16$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$v + C_{1} = \frac{16}{2} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2.2.2

约去公因数。

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2.2.3

重写表达式。

$v + C_{1} = \frac{8}{1} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$v + C_{1} = 8 t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $π$ 代入 $t$ ，将 $- 3$ 代入 $v$ ，在 $v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$ 中求 $K$ 的值。

$- 3 = 8 π^{2} - \tan (π) + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $8 π^{2} - \tan (π) + K = - 3$ 。

$8 π^{2} - \tan (π) + K = - 3$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简 $8 π^{2} - \tan (π) + K$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$8 π^{2} - - \tan (0) + K = - 3$

解题步骤 4.2.1.1.2

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$8 π^{2} - - 0 + K = - 3$

解题步骤 4.2.1.1.3

乘以 $- - 0$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$8 π^{2} - 0 + K = - 3$

解题步骤 4.2.1.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$8 π^{2} + 0 + K = - 3$

解题步骤 4.2.1.2

将 $8 π^{2}$ 和 $0$ 相加。

$8 π^{2} + K = - 3$

解题步骤 4.3

从等式两边同时减去 $8 π^{2}$ 。

$K = - 3 - 8 π^{2}$

解题步骤 5

代入 $- 3 - 8 π^{2}$ 替换 $v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $- 3 - 8 π^{2}$ 替换 $K$ 。

$v = 8 t^{2} - \tan (t) - 3 - 8 π^{2}$

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