微积分学示例

$6 x - 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

从等式两边同时减去 $6 x$ 。

$- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - 6 x$

解题步骤 1.1.2

将 $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - 6 x$ 中的每一项除以 $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - 6 x$ 中的每一项都除以 $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}$ 。

$\frac{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 6 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.2.1

约去 $- 8$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 6 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 1.1.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 6 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 1.1.2.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 6 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 1.1.2.2.2.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 6 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 1.1.2.2.3

约去 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.3.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 6 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 1.1.2.2.3.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 6 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 1.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.2.3.1

约去 $- 6$ 和 $- 8$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 (3 x)}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.1.2.1

从 $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 (3 x)}{- 2 (4 y \sqrt{x^{2} + 1})}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 (3 x)}{- 2 (4 y \sqrt{x^{2} + 1})}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{4 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 1.1.2.3.2

将 $\frac{3 x}{4 y \sqrt{x^{2} + 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{4 y \sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 1.1.2.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 1.1.2.3.3.1

将 $\frac{3 x}{4 y \sqrt{x^{2} + 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 y \sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 1.1.2.3.3.2

移动 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 y (\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1})}$

解题步骤 1.1.2.3.3.3

对 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 y ({\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1})}$

解题步骤 1.1.2.3.3.4

对 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 y ({\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1})}$

解题步骤 1.1.2.3.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 y {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.1.2.3.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 y {\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.3.7

将 ${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ 重写为 $x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.3.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 重写成 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 y {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.3.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.1.2.3.3.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.1.2.3.3.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.3.7.4.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.1.2.3.3.7.4.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 y {(x^{2} + 1)}^{1}}$

解题步骤 1.1.2.3.3.7.5

化简。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 y (x^{2} + 1)}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y})$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

合并。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{4 (x^{2} + 1) y}$

解题步骤 1.4.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $4 (x^{2} + 1) y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{y (4 (x^{2} + 1))}$

解题步骤 1.4.2.2

约去公因数。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{y (4 (x^{2} + 1))}$

解题步骤 1.4.2.3

重写表达式。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{4 (x^{2} + 1)}$

解题步骤 1.4.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 (x^{2} + 1)}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$y d y = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 (x^{2} + 1)} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 (x^{2} + 1)} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 (x^{2} + 1)} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $\frac{3}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{3}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{4} \int \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u = x^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = x^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $x^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.3.2.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.2.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 2.3.2.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{4} \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\frac{\sqrt{u}}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{4} \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 2.3.3.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{4} \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

解题步骤 2.3.5

化简表达式。

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解题步骤 2.3.5.1

化简。

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解题步骤 2.3.5.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2 \cdot 4} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

解题步骤 2.3.5.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

解题步骤 2.3.5.3

化简。

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解题步骤 2.3.5.3.1

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $u^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.3.5.3.2

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.5.3.2.1

将 $u$ 乘以 $u^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.5.3.2.1.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.3.5.3.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.3.5.3.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.3.5.3.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

解题步骤 2.3.5.3.2.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.3.5.4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.5.4.1

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.3.5.4.2

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.5.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.3.5.4.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.5.4.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.6

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $\frac{3}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ 重写为 $\frac{3}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2

化简。

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解题步骤 2.3.7.2.1

组合 $\frac{3}{8}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{6}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.3

约去 $6$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.7.2.3.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 (3)}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.7.2.3.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.8

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

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