微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{5 - x}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \frac{2}{5 - x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{2}{5 - x} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{2}{5 - x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{5 - x} d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u = 5 - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = 5 - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

$- 1$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{- 1}{u} d u$

$y + C_{1} = 2 \int \frac{- 1}{u} d u$

解题步骤 2.3.3

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = 2 \int - \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 2 (- \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 2.3.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$y + C_{1} = - 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

$y + C_{1} = - 2 \ln (| u |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.8

使用 $5 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = - 2 \ln (| 5 - x |) + C_{2}$

$y + C_{1} = - 2 \ln (| 5 - x |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y = - 2 \ln (| 5 - x |) + C$

$y = - 2 \ln (| 5 - x |) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$