微积分学示例

$d x - 2 (x + y) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 1$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 1.2

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = - 2 (x + y)$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 (x + y)]$

解题步骤 2.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 (x + y)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x + y]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \frac{d}{d x} [x + y]$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $x + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.5

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + 0)$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \cdot 1$

解题步骤 2.6.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $- 2$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$0 = - 2$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$0 = - 2$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $- 2$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{- 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 4.2

代入 $0$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{- 2 + 0}{M}$

解题步骤 4.3

代入 $1$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $1$ 替换 $M$ 。

$\frac{- 2 + 0}{1}$

解题步骤 4.3.2

用 $- 2 + 0$ 除以 $1$ 。

$- 2 + 0$

解题步骤 4.3.3

代入 $1$ 替换 $M$ 。

$- 2$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - 2 d y}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int - 2 d y}$ 。

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解题步骤 5.1

应用常数不变法则。

$μ (x, y) = e^{- 2 y + C}$

解题步骤 5.2

化简。

$μ (x, y) = e^{- 2 y} + C$

解题步骤 6

将 $1$ 乘以 $e^{- 2 y}$ 。

$d x - 2 (x + y) d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int e^{- 2 y} d x$

解题步骤 8

对 $M (x, y) = e^{- 2 y}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + C$

解题步骤 9

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + g (y)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x + g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $e^{- 2 y} x + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $e^{- 2 y} x$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [e^{- 2 y}]$ 。

$x \frac{d}{d y} [e^{- 2 y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

解题步骤 11.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = e^{y}$ 且 $g (y) = - 2 y$ 。

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解题步骤 11.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 2 y$ 。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

解题步骤 11.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

解题步骤 11.3.2.3

使用 $- 2 y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (e^{- 2 y} \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

解题步骤 11.3.3

因为 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 2 y$ 对 $y$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$x (e^{- 2 y} (- 2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

解题步骤 11.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (e^{- 2 y} (- 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

解题步骤 11.3.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$x (e^{- 2 y} \cdot - 2) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

解题步骤 11.3.6

将 $- 2$ 移到 $e^{- 2 y}$ 的左侧。

$x (- 2 e^{- 2 y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$x (- 2 e^{- 2 y}) + \frac{d g}{d y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

解题步骤 11.5

化简。

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解题步骤 11.5.1

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y} x = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

解题步骤 11.5.2

将 $\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y} x$ 中的因式重新排序。

$\frac{d g}{d y} - 2 x e^{- 2 y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 12.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d y}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.1.1

在等式两边都加上 $2 x e^{- 2 y}$ 。

$\frac{d g}{d y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y} + 2 x e^{- 2 y}$

解题步骤 12.1.2

合并 $- 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y} + 2 x e^{- 2 y}$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.2.1

将 $- 2 x e^{- 2 y}$ 和 $2 x e^{- 2 y}$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y} + 0$

解题步骤 12.1.2.2

将 $- 2 y e^{- 2 y}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y}$

解题步骤 13

求 $- 2 y e^{- 2 y}$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y e^{- 2 y} d y$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int - 2 y e^{- 2 y} d y$

解题步骤 13.3

由于 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$g (y) = - 2 \int y e^{- 2 y} d y$

解题步骤 13.4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = y$ ， $d v = e^{- 2 y}$ 。

$g (y) = - 2 (y (- \frac{1}{2} e^{- 2 y}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

解题步骤 13.5

化简。

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解题步骤 13.5.1

组合 $e^{- 2 y}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$g (y) = - 2 (y (- \frac{e^{- 2 y}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

解题步骤 13.5.2

组合 $y$ 和 $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ 。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

解题步骤 13.5.3

组合 $e^{- 2 y}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

解题步骤 13.6

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

解题步骤 13.7

化简。

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解题步骤 13.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

解题步骤 13.7.2

将 $\int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y$ 乘以 $1$ 。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

解题步骤 13.8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 y} d y)$

解题步骤 13.9

使 $u = - 2 y$ 。然后使 $d u = - 2 d y$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 13.9.1

设 $u = - 2 y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 13.9.1.1

对 $- 2 y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

解题步骤 13.9.1.2

因为 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 2 y$ 对 $y$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 13.9.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 13.9.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 13.9.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

解题步骤 13.10

化简。

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解题步骤 13.10.1

将负号移到分数的前面。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

解题步骤 13.10.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

解题步骤 13.11

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

解题步骤 13.12

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

解题步骤 13.13

化简。

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解题步骤 13.13.1

去掉圆括号。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

解题步骤 13.13.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 13.13.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

解题步骤 13.14

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

解题步骤 13.15

将 $- 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ 重写为 $- 2 (- \frac{1}{2} y e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ 。

$g (y) = - 2 (- \frac{1}{2} y e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

解题步骤 13.16

化简。

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解题步骤 13.16.1

组合 $y$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$g (y) = - 2 (- \frac{y}{2} e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

解题步骤 13.16.2

组合 $e^{- 2 y}$ 和 $\frac{y}{2}$ 。

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

解题步骤 13.16.3

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

解题步骤 13.17

使用 $- 2 y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

解题步骤 13.18

化简。

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解题步骤 13.18.1

运用分配律。

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2}) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

解题步骤 13.18.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.18.2.1

将 $- \frac{e^{- 2 y} y}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$g (y) = - 2 \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

解题步骤 13.18.2.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$g (y) = 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

解题步骤 13.18.2.3

约去公因数。

$g (y) = 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

解题步骤 13.18.2.4

重写表达式。

$g (y) = - (- e^{- 2 y} y) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

解题步骤 13.18.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$g (y) = 1 (e^{- 2 y} y) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

解题步骤 13.18.4

将 $e^{- 2 y}$ 乘以 $1$ 。

$g (y) = e^{- 2 y} y - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

解题步骤 13.18.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.18.5.1

将 $- \frac{e^{- 2 y}}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$g (y) = e^{- 2 y} y - 2 \frac{- e^{- 2 y}}{4} + C$

解题步骤 13.18.5.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y}}{4} + C$

解题步骤 13.18.5.3

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 13.18.5.4

约去公因数。

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 13.18.5.5

重写表达式。

$g (y) = e^{- 2 y} y - \frac{- e^{- 2 y}}{2} + C$

解题步骤 13.18.6

化简每一项。

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解题步骤 13.18.6.1

将负号移到分数的前面。

$g (y) = e^{- 2 y} y - - \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

解题步骤 13.18.6.2

乘以 $- - \frac{e^{- 2 y}}{2}$ 。

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解题步骤 13.18.6.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$g (y) = e^{- 2 y} y + 1 \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

解题步骤 13.18.6.2.2

将 $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$g (y) = e^{- 2 y} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

解题步骤 13.18.7

用公分母合并 $e^{- 2 y} y$ 和 $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ 。

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解题步骤 13.18.7.1

将 $e^{- 2 y}$ 和 $y$ 重新排序。

$g (y) = y e^{- 2 y} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

解题步骤 13.18.7.2

要将 $y e^{- 2 y}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$g (y) = y e^{- 2 y} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

解题步骤 13.18.7.3

组合 $y e^{- 2 y}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$g (y) = \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

解题步骤 13.18.7.4

在公分母上合并分子。

$g (y) = \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}}{2} + C$

解题步骤 13.18.8

化简分子。

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解题步骤 13.18.8.1

从 $y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}$ 中分解出因数 $e^{- 2 y}$ 。

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解题步骤 13.18.8.1.1

从 $y e^{- 2 y} \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{- 2 y}$ 。

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y}}{2} + C$

解题步骤 13.18.8.1.2

乘以 $1$ 。

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1}{2} + C$

解题步骤 13.18.8.1.3

从 $e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1$ 中分解出因数 $e^{- 2 y}$ 。

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2 + 1)}{2} + C$

解题步骤 13.18.8.2

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

解题步骤 13.19

重新排序项。

$g (y) = \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = e^{- 2 y} x + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$

解题步骤 15

化简 $f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$ 。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{- 2 y}$ 。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y}}{2} (2 y + 1) + C$

解题步骤 15.1.2

运用分配律。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y}}{2} (2 y) + \frac{e^{- 2 y}}{2} \cdot 1 + C$

解题步骤 15.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} \cdot 1 + C$

解题步骤 15.1.4

将 $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

解题步骤 15.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.1.5.1

约去公因数。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

解题步骤 15.1.5.2

重写表达式。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + e^{- 2 y} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

解题步骤 15.1.6

用公分母合并 $e^{- 2 y} y$ 和 $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ 。

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解题步骤 15.1.6.1

将 $e^{- 2 y}$ 和 $y$ 重新排序。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + y e^{- 2 y} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

解题步骤 15.1.6.2

要将 $y e^{- 2 y}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + y e^{- 2 y} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

解题步骤 15.1.6.3

组合 $y e^{- 2 y}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

解题步骤 15.1.6.4

在公分母上合并分子。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}}{2} + C$

解题步骤 15.1.7

化简分子。

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解题步骤 15.1.7.1

从 $y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}$ 中分解出因数 $e^{- 2 y}$ 。

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解题步骤 15.1.7.1.1

从 $y e^{- 2 y} \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{- 2 y}$ 。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y}}{2} + C$

解题步骤 15.1.7.1.2

乘以 $1$ 。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1}{2} + C$

解题步骤 15.1.7.1.3

从 $e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1$ 中分解出因数 $e^{- 2 y}$ 。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2 + 1)}{2} + C$

解题步骤 15.1.7.2

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

解题步骤 15.2

要将 $e^{- 2 y} x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

解题步骤 15.3

组合 $e^{- 2 y} x$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} x \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

解题步骤 15.4

在公分母上合并分子。

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} x \cdot 2 + e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

解题步骤 15.5

化简分子。

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解题步骤 15.5.1

从 $e^{- 2 y} x \cdot 2 + e^{- 2 y} (2 y + 1)$ 中分解出因数 $e^{- 2 y}$ 。

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解题步骤 15.5.1.1

从 $e^{- 2 y} x \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{- 2 y}$ 。

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (x \cdot 2) + e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

解题步骤 15.5.1.2

从 $e^{- 2 y} (x \cdot 2) + e^{- 2 y} (2 y + 1)$ 中分解出因数 $e^{- 2 y}$ 。

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (x \cdot 2 + 2 y + 1)}{2} + C$

解题步骤 15.5.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (2 x + 2 y + 1)}{2} + C$

微积分学 示例

微积分学示例