微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = (y + 2) (y - 3)$ ; where $y (0) = 4$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{(y + 2) (y - 3)}$ 。

$\frac{1}{(y + 2) (y - 3)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 2) (y - 3)} ((y + 2) (y - 3))$

解题步骤 1.2

约去 $(y + 2) (y - 3)$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{(y + 2) (y - 3)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 2) (y - 3)} ((y + 2) (y - 3))$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{(y + 2) (y - 3)} \frac{d y}{d x} = 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{(y + 2) (y - 3)} d y = 1 d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{(y + 2) (y - 3)} d y = \int d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 2.2.1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{y + 2}$

解题步骤 2.2.1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{y + 2} + \frac{B}{y - 3}$

解题步骤 2.2.1.1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(y + 2) (y - 3)$ 。

$\frac{1 (y + 2) (y - 3)}{(y + 2) (y - 3)} = \frac{(A) (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

解题步骤 2.2.1.1.4

约去 $y + 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.4.1

约去公因数。

$\frac{1 (y + 2) (y - 3)}{(y + 2) (y - 3)} = \frac{(A) (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

解题步骤 2.2.1.1.4.2

重写表达式。

$\frac{1 (y - 3)}{y - 3} = \frac{(A) (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

解题步骤 2.2.1.1.5

约去 $y - 3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.5.1

约去公因数。

$\frac{1 (y - 3)}{y - 3} = \frac{(A) (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

解题步骤 2.2.1.1.5.2

重写表达式。

$1 = \frac{(A) (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

解题步骤 2.2.1.1.6

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1.6.1

约去 $y + 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.6.1.1

约去公因数。

$1 = \frac{A (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

解题步骤 2.2.1.1.6.1.2

用 $(A) (y - 3)$ 除以 $1$ 。

$1 = (A) (y - 3) + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

解题步骤 2.2.1.1.6.2

运用分配律。

$1 = A y + A \cdot - 3 + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

解题步骤 2.2.1.1.6.3

将 $- 3$ 移到 $A$ 的左侧。

$1 = A y - 3 \cdot A + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

解题步骤 2.2.1.1.6.4

约去 $y - 3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.6.4.1

约去公因数。

$1 = A y - 3 A + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

解题步骤 2.2.1.1.6.4.2

用 $(B) (y + 2)$ 除以 $1$ 。

$1 = A y - 3 A + (B) (y + 2)$

解题步骤 2.2.1.1.6.5

运用分配律。

$1 = A y - 3 A + B y + B \cdot 2$

解题步骤 2.2.1.1.6.6

将 $2$ 移到 $B$ 的左侧。

$1 = A y - 3 A + B y + 2 B$

解题步骤 2.2.1.1.7

移动 $- 3 A$ 。

$1 = A y + B y - 3 A + 2 B$

解题步骤 2.2.1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.2.1.2.1

使方程两边 $y$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + B$

解题步骤 2.2.1.2.2

使方程两边不含 $y$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = - 3 A + 2 B$

解题步骤 2.2.1.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = A + B$

$1 = - 3 A + 2 B$

$0 = A + B$

$1 = - 3 A + 2 B$

解题步骤 2.2.1.3

求解方程组。

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解题步骤 2.2.1.3.1

在 $0 = A + B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 2.2.1.3.1.1

将方程重写为 $A + B = 0$ 。

$A + B = 0$

$1 = - 3 A + 2 B$

解题步骤 2.2.1.3.1.2

从等式两边同时减去 $B$ 。

$A = - B$

$1 = - 3 A + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A + 2 B$

解题步骤 2.2.1.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- B$ 。

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解题步骤 2.2.1.3.2.1

使用 $- B$ 替换 $1 = - 3 A + 2 B$ 中所有出现的 $A$ .

$1 = - 3 (- B) + 2 B$

$A = - B$

解题步骤 2.2.1.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.1.3.2.2.1

化简 $- 3 (- B) + 2 B$ 。

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解题步骤 2.2.1.3.2.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$1 = 3 B + 2 B$

$A = - B$

解题步骤 2.2.1.3.2.2.1.2

将 $3 B$ 和 $2 B$ 相加。

$1 = 5 B$

$A = - B$

$1 = 5 B$

$A = - B$

$1 = 5 B$

$A = - B$

$1 = 5 B$

$A = - B$

解题步骤 2.2.1.3.3

在 $1 = 5 B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 2.2.1.3.3.1

将方程重写为 $5 B = 1$ 。

$5 B = 1$

$A = - B$

解题步骤 2.2.1.3.3.2

将 $5 B = 1$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1.3.3.2.1

将 $5 B = 1$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 B}{5} = \frac{1}{5}$

$A = - B$

解题步骤 2.2.1.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1.3.3.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.3.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 B}{5} = \frac{1}{5}$

$A = - B$

解题步骤 2.2.1.3.3.2.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{1}{5}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - B$

解题步骤 2.2.1.3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $\frac{1}{5}$ 。

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解题步骤 2.2.1.3.4.1

使用 $\frac{1}{5}$ 替换 $A = - B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = - (\frac{1}{5})$

$B = \frac{1}{5}$

解题步骤 2.2.1.3.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.1.3.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$A = - \frac{1}{5}$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - \frac{1}{5}$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - \frac{1}{5}$

$B = \frac{1}{5}$

解题步骤 2.2.1.3.5

列出所有解。

$A = - \frac{1}{5}, B = \frac{1}{5}$

解题步骤 2.2.1.4

将 $\frac{A}{y + 2} + \frac{B}{y - 3}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{- \frac{1}{5}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

解题步骤 2.2.1.5

化简。

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解题步骤 2.2.1.5.1

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y + 2} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

解题步骤 2.2.1.5.2

将 $\frac{1}{y + 2}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$- \frac{1}{(y + 2) \cdot 5} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

解题步骤 2.2.1.5.3

将 $5$ 移到 $y + 2$ 的左侧。

$- \frac{1}{5 (y + 2)} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

解题步骤 2.2.1.5.4

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{1}{5 (y + 2)} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y - 3}$

解题步骤 2.2.1.5.5

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{1}{y - 3}$ 。

$\int - \frac{1}{5 (y + 2)} + \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - \frac{1}{5 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{5 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.4

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{5} \int \frac{1}{y + 2} d y) + \int \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.5

使 $u_{1} = y + 2$ 。然后使 $d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.5.1

设 $u_{1} = y + 2$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.5.1.1

对 $y + 2$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

解题步骤 2.2.5.1.2

根据加法法则， $y + 2$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

解题步骤 2.2.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

解题步骤 2.2.5.1.4

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.5.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.5.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$- \frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.6

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$- \frac{1}{5} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \int \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.7

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$- \frac{1}{5} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{y - 3} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.8

使 $u_{2} = y - 3$ 。然后使 $d u_{2} = d y$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.8.1

设 $u_{2} = y - 3$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.8.1.1

对 $y - 3$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

解题步骤 2.2.8.1.2

根据加法法则， $y - 3$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

解题步骤 2.2.8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

解题步骤 2.2.8.1.4

因为 $- 3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.8.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.8.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$- \frac{1}{5} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

解题步骤 2.2.9

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$- \frac{1}{5} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{5} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d x$

解题步骤 2.2.10

化简。

$- \frac{1}{5} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d x$

解题步骤 2.2.11

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 2.2.11.1

使用 $y + 2$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{1}{5} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d x$

解题步骤 2.2.11.2

使用 $y - 3$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{5} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{5} \ln (| y - 3 |) + C_{3} = \int d x$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$- \frac{1}{5} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{5} \ln (| y - 3 |) + C_{3} = x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \frac{1}{5} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{5} \ln (| y - 3 |) = x + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

化简左边。

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解题步骤 3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1.1

组合 $\ln (| y + 2 |)$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5} + \frac{1}{5} \ln (| y - 3 |) = x + C$

解题步骤 3.1.1.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $\ln (| y - 3 |)$ 。

$- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5} + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} = x + C$

解题步骤 3.2

将 $- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5} + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} = x + C$ 中的每一项乘以 $5$ 以消去分数。

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解题步骤 3.2.1

将 $- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5} + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} = x + C$ 中的每一项乘以 $5$ 。

$- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5} \cdot 5 + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

将 $- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- \ln (| y + 2 |)}{5} \cdot 5 + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

约去公因数。

$\frac{- \ln (| y + 2 |)}{5} \cdot 5 + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

解题步骤 3.2.2.1.1.3

重写表达式。

$- \ln (| y + 2 |) + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

解题步骤 3.2.2.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.2.1

约去公因数。

$- \ln (| y + 2 |) + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

解题步骤 3.2.2.1.2.2

重写表达式。

$- \ln (| y + 2 |) + \ln (| y - 3 |) = x \cdot 5 + C \cdot 5$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.3.1.1

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$- \ln (| y + 2 |) + \ln (| y - 3 |) = 5 \cdot x + C \cdot 5$

解题步骤 3.2.3.1.2

将 $5$ 移到 $C$ 的左侧。

$- \ln (| y + 2 |) + \ln (| y - 3 |) = 5 x + 5 C$

解题步骤 3.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y - 3 |)} = e^{5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)}$

解题步骤 3.4

使用对数的定义将 $\ln (| y - 3 |) = 5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)} = | y - 3 |$

解题步骤 3.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)}) = \ln (| y - 3 |)$

解题步骤 3.5.2

展开左边。

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解题步骤 3.5.2.1

通过将 $5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)})$ 。

$(5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)) \ln (e) = \ln (| y - 3 |)$

解题步骤 3.5.2.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$(5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)) \cdot 1 = \ln (| y - 3 |)$

解题步骤 3.5.2.3

将 $5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)$ 乘以 $1$ 。

$5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |) = \ln (| y - 3 |)$

解题步骤 3.5.3

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y + 2 |) - \ln (| y - 3 |) = - 5 x - 5 C$

解题步骤 3.5.4

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |}) = - 5 x - 5 C$

解题步骤 3.5.5

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |})} = e^{- 5 x - 5 C}$

解题步骤 3.5.6

使用对数的定义将 $\ln (\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |}) = - 5 x - 5 C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- 5 x - 5 C} = \frac{| y + 2 |}{| y - 3 |}$

解题步骤 3.5.7

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.7.1

将方程重写为 $\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |} = e^{- 5 x - 5 C}$ 。

$\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |} = e^{- 5 x - 5 C}$

解题步骤 3.5.7.2

两边同时乘以 $| y - 3 |$ 。

$\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |} | y - 3 | = e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 |$

解题步骤 3.5.7.3

化简左边。

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解题步骤 3.5.7.3.1

约去 $| y - 3 |$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.7.3.1.1

约去公因数。

$\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |} | y - 3 | = e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 |$

解题步骤 3.5.7.3.1.2

重写表达式。

$| y + 2 | = e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 |$

解题步骤 3.5.7.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.7.4.1

将方程重写为 $e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 | = | y + 2 |$ 。

$e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 | = | y + 2 |$

解题步骤 3.5.7.4.2

将 $e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 | = | y + 2 |$ 中的每一项除以 $e^{- 5 x - 5 C}$ 并化简。

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解题步骤 3.5.7.4.2.1

将 $e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 | = | y + 2 |$ 中的每一项都除以 $e^{- 5 x - 5 C}$ 。

$\frac{e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 |}{e^{- 5 x - 5 C}} = \frac{| y + 2 |}{e^{- 5 x - 5 C}}$

解题步骤 3.5.7.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.7.4.2.2.1

约去 $e^{- 5 x - 5 C}$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.7.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 |}{e^{- 5 x - 5 C}} = \frac{| y + 2 |}{e^{- 5 x - 5 C}}$

解题步骤 3.5.7.4.2.2.1.2

用 $| y - 3 |$ 除以 $1$ 。

$| y - 3 | = \frac{| y + 2 |}{e^{- 5 x - 5 C}}$

解题步骤 3.5.7.4.3

将绝对值方程重写成不带绝对值符号的四个方程。

$y - 3 = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

$y - 3 = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

$- (y - 3) = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

$- (y - 3) = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

解题步骤 3.5.7.4.4

化简后，只需求解两个有唯一解的方程。

$y - 3 = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

$y - 3 = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

解题步骤 3.5.7.4.5

求解 $y$ 的 $y - 3 = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$ 。

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解题步骤 3.5.7.4.5.1

两边同时乘以 $e^{- 5 x - 5 C}$ 。

$(y - 3) e^{- 5 x - 5 C} = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

解题步骤 3.5.7.4.5.2

化简。

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解题步骤 3.5.7.4.5.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.5.7.4.5.2.1.1

化简 $(y - 3) e^{- 5 x - 5 C}$ 。

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解题步骤 3.5.7.4.5.2.1.1.1

运用分配律。

$y e^{- 5 x - 5 C} - 3 e^{- 5 x - 5 C} = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

解题步骤 3.5.7.4.5.2.1.1.2

通过交换进行化简。

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解题步骤 3.5.7.4.5.2.1.1.2.1

将 $- 5 x$ 和 $- 5 C$ 重新排序。

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 x - 5 C} = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

解题步骤 3.5.7.4.5.2.1.1.2.2

将 $- 5 x$ 和 $- 5 C$ 重新排序。

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

解题步骤 3.5.7.4.5.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.5.7.4.5.2.2.1

约去 $e^{- 5 x - 5 C}$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.7.4.5.2.2.1.1

约去公因数。

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

解题步骤 3.5.7.4.5.2.2.1.2

重写表达式。

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = y + 2$

解题步骤 3.5.7.4.5.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.7.4.5.3.1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} - y = 2$

解题步骤 3.5.7.4.5.3.2

在等式两边都加上 $3 e^{- 5 C - 5 x}$ 。

$y e^{- 5 C - 5 x} - y = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

解题步骤 3.5.7.4.5.3.3

从 $y e^{- 5 C - 5 x} - y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 3.5.7.4.5.3.3.1

从 $y e^{- 5 C - 5 x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y e^{- 5 C - 5 x} - y = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

解题步骤 3.5.7.4.5.3.3.2

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y e^{- 5 C - 5 x} + y \cdot - 1 = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

解题步骤 3.5.7.4.5.3.3.3

从 $y e^{- 5 C - 5 x} + y \cdot - 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (e^{- 5 C - 5 x} - 1) = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

解题步骤 3.5.7.4.5.3.4

将 $y (e^{- 5 C - 5 x} - 1) = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$ 中的每一项除以 $e^{- 5 C - 5 x} - 1$ 并化简。

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解题步骤 3.5.7.4.5.3.4.1

将 $y (e^{- 5 C - 5 x} - 1) = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$ 中的每一项都除以 $e^{- 5 C - 5 x} - 1$ 。

$\frac{y (e^{- 5 C - 5 x} - 1)}{e^{- 5 C - 5 x} - 1} = \frac{2}{e^{- 5 C - 5 x} - 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

解题步骤 3.5.7.4.5.3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.7.4.5.3.4.2.1

约去 $e^{- 5 C - 5 x} - 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.7.4.5.3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (e^{- 5 C - 5 x} - 1)}{e^{- 5 C - 5 x} - 1} = \frac{2}{e^{- 5 C - 5 x} - 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

解题步骤 3.5.7.4.5.3.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{2}{e^{- 5 C - 5 x} - 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

解题步骤 3.5.7.4.5.3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.7.4.5.3.4.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

解题步骤 3.5.7.4.6

求解 $y$ 的 $y - 3 = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$ 。

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解题步骤 3.5.7.4.6.1

两边同时乘以 $e^{- 5 x - 5 C}$ 。

$(y - 3) e^{- 5 x - 5 C} = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

解题步骤 3.5.7.4.6.2

化简。

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解题步骤 3.5.7.4.6.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.5.7.4.6.2.1.1

化简 $(y - 3) e^{- 5 x - 5 C}$ 。

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解题步骤 3.5.7.4.6.2.1.1.1

运用分配律。

$y e^{- 5 x - 5 C} - 3 e^{- 5 x - 5 C} = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

解题步骤 3.5.7.4.6.2.1.1.2

通过交换进行化简。

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解题步骤 3.5.7.4.6.2.1.1.2.1

将 $- 5 x$ 和 $- 5 C$ 重新排序。

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 x - 5 C} = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

解题步骤 3.5.7.4.6.2.1.1.2.2

将 $- 5 x$ 和 $- 5 C$ 重新排序。

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

解题步骤 3.5.7.4.6.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.5.7.4.6.2.2.1

化简 $- \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$ 。

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解题步骤 3.5.7.4.6.2.2.1.1

约去 $e^{- 5 x - 5 C}$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.7.4.6.2.2.1.1.1

将 $- \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$ 中前置负号移到分子中。

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = \frac{- (y + 2)}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

解题步骤 3.5.7.4.6.2.2.1.1.2

约去公因数。

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = \frac{- (y + 2)}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

解题步骤 3.5.7.4.6.2.2.1.1.3

重写表达式。

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = - (y + 2)$

解题步骤 3.5.7.4.6.2.2.1.2

运用分配律。

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = - y - 1 \cdot 2$

解题步骤 3.5.7.4.6.2.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = - y - 2$

解题步骤 3.5.7.4.6.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.7.4.6.3.1

在等式两边都加上 $y$ 。

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} + y = - 2$

解题步骤 3.5.7.4.6.3.2

在等式两边都加上 $3 e^{- 5 C - 5 x}$ 。

$y e^{- 5 C - 5 x} + y = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

解题步骤 3.5.7.4.6.3.3

从 $y e^{- 5 C - 5 x} + y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 3.5.7.4.6.3.3.1

从 $y e^{- 5 C - 5 x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y e^{- 5 C - 5 x} + y = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

解题步骤 3.5.7.4.6.3.3.2

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$y e^{- 5 C - 5 x} + y = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

解题步骤 3.5.7.4.6.3.3.3

从 $y^{1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y e^{- 5 C - 5 x} + y \cdot 1 = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

解题步骤 3.5.7.4.6.3.3.4

从 $y e^{- 5 C - 5 x} + y \cdot 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (e^{- 5 C - 5 x} + 1) = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

解题步骤 3.5.7.4.6.3.4

将 $y (e^{- 5 C - 5 x} + 1) = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$ 中的每一项除以 $e^{- 5 C - 5 x} + 1$ 并化简。

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解题步骤 3.5.7.4.6.3.4.1

将 $y (e^{- 5 C - 5 x} + 1) = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$ 中的每一项都除以 $e^{- 5 C - 5 x} + 1$ 。

$\frac{y (e^{- 5 C - 5 x} + 1)}{e^{- 5 C - 5 x} + 1} = \frac{- 2}{e^{- 5 C - 5 x} + 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

解题步骤 3.5.7.4.6.3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.7.4.6.3.4.2.1

约去 $e^{- 5 C - 5 x} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.7.4.6.3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (e^{- 5 C - 5 x} + 1)}{e^{- 5 C - 5 x} + 1} = \frac{- 2}{e^{- 5 C - 5 x} + 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

解题步骤 3.5.7.4.6.3.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- 2}{e^{- 5 C - 5 x} + 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

解题步骤 3.5.7.4.6.3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.7.4.6.3.4.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

解题步骤 3.5.7.4.6.3.4.3.2

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$y = \frac{- 1 (2) + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

解题步骤 3.5.7.4.6.3.4.3.3

从 $3 e^{- 5 C - 5 x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 (2) - (- 3 e^{- 5 C - 5 x})}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

解题步骤 3.5.7.4.6.3.4.3.4

从 $- 1 (2) - (- 3 e^{- 5 C - 5 x})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 (2 - 3 e^{- 5 C - 5 x})}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

解题步骤 3.5.7.4.6.3.4.3.5

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

解题步骤 3.5.7.4.7

列出所有解。

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

化简积分常数。

$y = \frac{2 + 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

解题步骤 4.2

重新排序项。

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 x + C}}{e^{C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

解题步骤 4.3

将 $e^{- 5 x + C}$ 重写为 $e^{- 5 x} e^{C}$ 。

$y = \frac{2 + 3 (e^{- 5 x} e^{C})}{e^{C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

解题步骤 4.4

将 $e^{- 5 x}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

解题步骤 4.5

重新排序项。

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{- 5 x + C} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

解题步骤 4.6

将 $e^{- 5 x + C}$ 重写为 $e^{- 5 x} e^{C}$ 。

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{- 5 x} e^{C} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

解题步骤 4.7

将 $e^{- 5 x}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。