微积分学示例

$\frac{d G}{d t} = \frac{1}{50} (180 - G)$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{180 - G}$ 。

$\frac{1}{180 - G} \frac{d G}{d t} = \frac{1}{180 - G} (\frac{1}{50} (180 - G))$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{180 - G} \frac{d G}{d t} = \frac{1}{50} \cdot \frac{1}{180 - G} (180 - G)$

解题步骤 1.2.2

将 $\frac{1}{50}$ 乘以 $\frac{1}{180 - G}$ 。

$\frac{1}{180 - G} \frac{d G}{d t} = \frac{1}{50 (180 - G)} (180 - G)$

解题步骤 1.2.3

约去 $180 - G$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1

从 $50 (180 - G)$ 中分解出因数 $180 - G$ 。

$\frac{1}{180 - G} \frac{d G}{d t} = \frac{1}{(180 - G) \cdot 50} (180 - G)$

解题步骤 1.2.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{180 - G} \frac{d G}{d t} = \frac{1}{(180 - G) \cdot 50} (180 - G)$

解题步骤 1.2.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{180 - G} \frac{d G}{d t} = \frac{1}{50}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{180 - G} d G = \frac{1}{50} d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{180 - G} d G = \int \frac{1}{50} d t$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = 180 - G$ 。然后使 $d u = - d G$ ，以便 $- d u = d G$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = 180 - G$ 。求 $\frac{d u}{d G}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 2.2.1.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{50} d t$

解题步骤 2.2.2

将分数分解成多个分数。

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{50} d t$

解题步骤 2.2.3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{50} d t$

解题步骤 2.2.4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{50} d t$

解题步骤 2.2.5

化简。

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{50} d t$

解题步骤 2.2.6

使用 $180 - G$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \ln (| 180 - G |) + C_{1} = \int \frac{1}{50} d t$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$- \ln (| 180 - G |) + C_{1} = \frac{1}{50} t + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \ln (| 180 - G |) = \frac{1}{50} t + C$

解题步骤 3

求解 $G$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- \ln (| 180 - G |) = \frac{1}{50} t + C$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $- \ln (| 180 - G |) = \frac{1}{50} t + C$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \ln (| 180 - G |)}{- 1} = \frac{\frac{1}{50} t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\ln (| 180 - G |)}{1} = \frac{\frac{1}{50} t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.2.2

用 $\ln (| 180 - G |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| 180 - G |) = \frac{\frac{1}{50} t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.1.1

移动 $\frac{\frac{1}{50} t}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| 180 - G |) = - 1 \cdot (\frac{1}{50} t) + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.2

将 $- 1 \cdot (\frac{1}{50} t)$ 重写为 $- (\frac{1}{50} t)$ 。

$\ln (| 180 - G |) = - (\frac{1}{50} t) + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.3

组合 $\frac{1}{50}$ 和 $t$ 。

$\ln (| 180 - G |) = - \frac{t}{50} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.4

移动 $\frac{C}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| 180 - G |) = - \frac{t}{50} - 1 \cdot C$

解题步骤 3.1.3.1.5

将 $- 1 \cdot C$ 重写为 $- C$ 。

$\ln (| 180 - G |) = - \frac{t}{50} - C$

解题步骤 3.2

要求解 $G$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| 180 - G |)} = e^{- \frac{t}{50} - C}$

解题步骤 3.3

使用对数的定义将 $\ln (| 180 - G |) = - \frac{t}{50} - C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- \frac{t}{50} - C} = | 180 - G |$

解题步骤 3.4

求解 $G$ 。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $| 180 - G | = e^{- \frac{t}{50} - C}$ 。

$| 180 - G | = e^{- \frac{t}{50} - C}$

解题步骤 3.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$180 - G = \pm e^{- \frac{t}{50} - C}$

解题步骤 3.4.3

从等式两边同时减去 $180$ 。

$- G = \pm e^{- \frac{t}{50} - C} - 180$

解题步骤 3.4.4

将 $- G = \pm e^{- \frac{t}{50} - C} - 180$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $- G = \pm e^{- \frac{t}{50} - C} - 180$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- G}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{t}{50} - C}}{- 1} + \frac{- 180}{- 1}$

解题步骤 3.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{G}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{t}{50} - C}}{- 1} + \frac{- 180}{- 1}$

解题步骤 3.4.4.2.2

用 $G$ 除以 $1$ 。

$G = \frac{\pm e^{- \frac{t}{50} - C}}{- 1} + \frac{- 180}{- 1}$

解题步骤 3.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.4.3.1.1

移动 $\frac{\pm e^{- \frac{t}{50} - C}}{- 1}$ 中分母的负号。

$G = - 1 \cdot (\pm e^{- \frac{t}{50} - C}) + \frac{- 180}{- 1}$

解题步骤 3.4.4.3.1.2

将 $- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{t}{50} - C})$ 重写为 $- (\pm e^{- \frac{t}{50} - C})$ 。

$G = - (\pm e^{- \frac{t}{50} - C}) + \frac{- 180}{- 1}$

解题步骤 3.4.4.3.1.3

用 $- 180$ 除以 $- 1$ 。

$G = - (\pm e^{- \frac{t}{50} - C}) + 180$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

化简积分常数。

$G = - (\pm e^{- \frac{t}{50} + C}) + 180$

解题步骤 4.2

将 $e^{- \frac{t}{50} + C}$ 重写为 $e^{- \frac{t}{50}} e^{C}$ 。

$G = - (\pm e^{- \frac{t}{50}} e^{C}) + 180$

解题步骤 4.3

将 $e^{- \frac{t}{50}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$G = - (\pm e^{C} e^{- \frac{t}{50}}) + 180$

解题步骤 4.4

用加号或减号合并常数。

$G = - (C e^{- \frac{t}{50}}) + 180$

微积分学 示例

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