微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x^{2} y^{6}$

解题步骤 1

重写微分方程以符合伯努利方程。

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解题步骤 1.1

从 $\frac{y}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = x^{2} y^{6}$

解题步骤 1.2

将 $y$ 和 $\frac{1}{x}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{2} y^{6}$

解题步骤 2

要解微分方程，设 $v = y^{1 - n}$ ，其中 $n$ 是 $y^{6}$ 的指数。

$v = y^{- 5}$

解题步骤 3

求解 $y$ 的方程。

$y = v^{- \frac{1}{5}}$

解题步骤 4

取 $y$ 对 $x$ 的导数。

$y' = v^{- \frac{1}{5}}$

解题步骤 5

取 $v^{- \frac{1}{5}}$ 对 $x$ 的导数。

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解题步骤 5.1

取 $v^{- \frac{1}{5}}$ 的导数。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{5}}]$

解题步骤 5.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{5}}}]$

解题步骤 5.3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1$ 且 $g (x) = v^{\frac{1}{5}}$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{{(v^{\frac{1}{5}})}^{2}}$

解题步骤 5.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{{(v^{\frac{1}{5}})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2

将 ${(v^{\frac{1}{5}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{1}{5} \cdot 2}}$

解题步骤 5.4.2.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $2$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

解题步骤 5.4.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

解题步骤 5.4.4

化简表达式。

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解题步骤 5.4.4.1

将 $v^{\frac{1}{5}}$ 乘以 $0$ 。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

解题步骤 5.4.4.2

从 $0$ 中减去 $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]$ 。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

解题步骤 5.4.4.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

解题步骤 5.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ 且 $g (x) = v$ 。

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解题步骤 5.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $v$ 。

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

解题步骤 5.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{5}$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

解题步骤 5.5.3

使用 $v$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

解题步骤 5.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

解题步骤 5.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

解题步骤 5.8

在公分母上合并分子。

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

解题步骤 5.9

化简分子。

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解题步骤 5.9.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

解题步骤 5.9.2

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

解题步骤 5.10

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

解题步骤 5.11

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $v^{- \frac{4}{5}}$ 。

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

解题步骤 5.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $v^{- \frac{4}{5}}$ 移动到分母。

$y' = - \frac{\frac{1}{5 v^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

解题步骤 5.13

将 $\frac{d}{d x} [v]$ 重写为 $v'$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{5 v^{\frac{4}{5}}} v'}{v^{\frac{2}{5}}}$

解题步骤 5.14

组合 $\frac{1}{5 v^{\frac{4}{5}}}$ 和 $v'$ 。

$y' = - \frac{\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}}}{v^{\frac{2}{5}}}$

解题步骤 5.15

将 $\frac{\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}}}{v^{\frac{2}{5}}}$ 重写为乘积形式。

$y' = - (\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{5}}})$

解题步骤 5.16

将 $\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}}$ 乘以 $\frac{1}{v^{\frac{2}{5}}}$ 。

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}} v^{\frac{2}{5}}}$

解题步骤 5.17

通过指数相加将 $v^{\frac{4}{5}}$ 乘以 $v^{\frac{2}{5}}$ 。

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解题步骤 5.17.1

移动 $v^{\frac{2}{5}}$ 。

$y' = - \frac{v'}{5 (v^{\frac{2}{5}} v^{\frac{4}{5}})}$

解题步骤 5.17.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{2}{5} + \frac{4}{5}}}$

解题步骤 5.17.3

在公分母上合并分子。

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{2 + 4}{5}}}$

解题步骤 5.17.4

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{6}{5}}}$

解题步骤 6

在原方程 $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{2} y^{6}$ 中将 $\frac{d y}{d x}$ 替换成 $- \frac{v'}{5 v^{\frac{6}{5}}}$ 并且将 $y$ 替换成 $v^{- \frac{1}{5}}$ 。

$- \frac{v'}{5 v^{\frac{6}{5}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$

解题步骤 7

求解代入的微分方程。

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解题步骤 7.1

将微分方程重写为 $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ 。

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解题步骤 7.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$ 中的每一项乘以 $- (5 v^{\frac{6}{5}})$ 以消去分数。

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解题步骤 7.1.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$ 中的每一项乘以 $- (5 v^{\frac{6}{5}})$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

解题步骤 7.1.1.2

化简左边。

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解题步骤 7.1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1.2.1.1

约去 $5 v^{\frac{6}{5}}$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.2.1.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.1.2

从 $- (5 v^{\frac{6}{5}})$ 中分解出因数 $5 v^{\frac{6}{5}}$ 。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (5 v^{\frac{6}{5}} (- 1)) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.1.3

约去公因数。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (5 v^{\frac{6}{5}} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.1.4

重写表达式。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.3

将 $\frac{d v}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} v^{\frac{6}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.5

通过指数相加将 $v^{- \frac{1}{5}}$ 乘以 $v^{\frac{6}{5}}$ 。

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解题步骤 7.1.1.2.1.5.1

移动 $v^{\frac{6}{5}}$ 。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} (v^{\frac{6}{5}} v^{- \frac{1}{5}}) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{\frac{6}{5} - \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{\frac{6 - 1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.5.4

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{\frac{5}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.5.5

用 $5$ 除以 $5$ 。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{1} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.6

化简 $- 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{1}$ 。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.7

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{d v}{d x} - 5 \frac{1}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.8

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 5}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.9

将负号移到分数的前面。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.10

组合 $v$ 和 $\frac{5}{x}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 5}{x} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.11

将 $5$ 移到 $v$ 的左侧。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

解题步骤 7.1.1.3

化简右边。

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解题步骤 7.1.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 1 \cdot 5 x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} v^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 7.1.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} v^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 7.1.1.3.3

将 ${(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.1.1.3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{- \frac{1}{5} \cdot 6} v^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 7.1.1.3.3.2

乘以 $- \frac{1}{5} \cdot 6$ 。

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解题步骤 7.1.1.3.3.2.1

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{- 6 (\frac{1}{5})} v^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 7.1.1.3.3.2.2

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{- 6}{5}} v^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 7.1.1.3.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{- \frac{6}{5}} v^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 7.1.1.3.4

通过指数相加将 $v^{- \frac{6}{5}}$ 乘以 $v^{\frac{6}{5}}$ 。

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解题步骤 7.1.1.3.4.1

移动 $v^{\frac{6}{5}}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} (v^{\frac{6}{5}} v^{- \frac{6}{5}})$

解题步骤 7.1.1.3.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{6}{5} - \frac{6}{5}}$

解题步骤 7.1.1.3.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{6 - 6}{5}}$

解题步骤 7.1.1.3.4.4

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{0}{5}}$

解题步骤 7.1.1.3.4.5

用 $0$ 除以 $5$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{0}$

解题步骤 7.1.1.3.5

化简 $- 5 x^{2} v^{0}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2}$

解题步骤 7.1.2

从 $- \frac{5 v}{x}$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{5}{x}) = - 5 x^{2}$

解题步骤 7.1.3

将 $v$ 和 $- \frac{5}{x}$ 重新排序。

$\frac{d v}{d x} - \frac{5}{x} v = - 5 x^{2}$

解题步骤 7.2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - \frac{5}{x}$ 。

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解题步骤 7.2.1

建立积分。

$e^{\int - \frac{5}{x} d x}$

解题步骤 7.2.2

对 $- \frac{5}{x}$ 积分。

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解题步骤 7.2.2.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \int \frac{5}{x} d x}$

解题步骤 7.2.2.2

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$e^{- (5 \int \frac{1}{x} d x)}$

解题步骤 7.2.2.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 5 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 7.2.2.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{- 5 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 7.2.2.5

化简。

$e^{- 5 \ln (| x |) + C}$

解题步骤 7.2.3

去掉积分常数。

$e^{- 5 \ln (x)}$

解题步骤 7.2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{- 5})}$

解题步骤 7.2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{- 5}$

解题步骤 7.2.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 7.3

每一项乘以积分因数 $\frac{1}{x^{5}}$ 。

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解题步骤 7.3.1

每一项乘以 $\frac{1}{x^{5}}$ 。

$\frac{1}{x^{5}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{5}} (- \frac{5}{x} v) = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

解题步骤 7.3.2

化简每一项。

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解题步骤 7.3.2.1

组合 $\frac{1}{x^{5}}$ 和 $\frac{d v}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} (- \frac{5}{x} v) = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

解题步骤 7.3.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} (\frac{5}{x} v) = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

解题步骤 7.3.2.3

组合 $\frac{5}{x}$ 和 $v$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 v}{x} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

解题步骤 7.3.2.4

乘以 $- \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 v}{x}$ 。

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解题步骤 7.3.2.4.1

将 $\frac{5 v}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x^{5}}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x \cdot x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

解题步骤 7.3.2.4.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 7.3.2.4.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 7.3.2.4.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{1} x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

解题步骤 7.3.2.4.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{1 + 5}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

解题步骤 7.3.2.4.2.2

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

解题步骤 7.3.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = - 5 \frac{1}{x^{5}} x^{2}$

解题步骤 7.3.4

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{x^{5}}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{5}} x^{2}$

解题步骤 7.3.5

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.5.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{2} x^{3}} x^{2}$

解题步骤 7.3.5.2

约去公因数。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{2} x^{3}} x^{2}$

解题步骤 7.3.5.3

重写表达式。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{3}}$

解题步骤 7.3.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = - \frac{5}{x^{3}}$

解题步骤 7.4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} v] = - \frac{5}{x^{3}}$

解题步骤 7.5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} v] d x = \int - \frac{5}{x^{3}} d x$

解题步骤 7.6

对左边积分。

$\frac{1}{x^{5}} v = \int - \frac{5}{x^{3}} d x$

解题步骤 7.7

对右边积分。

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解题步骤 7.7.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{x^{5}} v = - \int \frac{5}{x^{3}} d x$

解题步骤 7.7.2

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$\frac{1}{x^{5}} v = - (5 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

解题步骤 7.7.3

化简表达式。

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解题步骤 7.7.3.1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

解题步骤 7.7.3.2

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 7.7.3.3

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.7.3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 7.7.3.3.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int x^{- 3} d x$

解题步骤 7.7.4

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

解题步骤 7.7.5

化简答案。

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解题步骤 7.7.5.1

化简。

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解题步骤 7.7.5.1.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

解题步骤 7.7.5.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

解题步骤 7.7.5.2

化简。

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

解题步骤 7.7.5.3

化简。

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解题步骤 7.7.5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{1}{x^{5}} v = 5 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 7.7.5.3.2

组合 $5$ 和 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 。

$\frac{1}{x^{5}} v = \frac{5}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 7.8

求解 $v$ 。

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解题步骤 7.8.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 7.8.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{5}{2 x^{2}}$ 。

$\frac{1}{x^{5}} v - \frac{5}{2 x^{2}} = C$

解题步骤 7.8.1.2

从等式两边同时减去 $C$ 。

$\frac{1}{x^{5}} v - \frac{5}{2 x^{2}} - C = 0$

解题步骤 7.8.1.3

组合 $\frac{1}{x^{5}}$ 和 $v$ 。

$\frac{v}{x^{5}} - \frac{5}{2 x^{2}} - C = 0$

解题步骤 7.8.2

将所有不包含 $v$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.8.2.1

在等式两边都加上 $\frac{5}{2 x^{2}}$ 。

$\frac{v}{x^{5}} - C = \frac{5}{2 x^{2}}$

解题步骤 7.8.2.2

在等式两边都加上 $C$ 。

$\frac{v}{x^{5}} = \frac{5}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 7.8.3

两边同时乘以 $x^{5}$ 。

$\frac{v}{x^{5}} x^{5} = (\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

解题步骤 7.8.4

化简。

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解题步骤 7.8.4.1

化简左边。

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解题步骤 7.8.4.1.1

约去 $x^{5}$ 的公因数。

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解题步骤 7.8.4.1.1.1

约去公因数。

$\frac{v}{x^{5}} x^{5} = (\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

解题步骤 7.8.4.1.1.2

重写表达式。

$v = (\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

解题步骤 7.8.4.2

化简右边。

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解题步骤 7.8.4.2.1

化简 $(\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$ 。

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解题步骤 7.8.4.2.1.1

运用分配律。

$v = \frac{5}{2 x^{2}} x^{5} + C x^{5}$

解题步骤 7.8.4.2.1.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 7.8.4.2.1.2.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$v = \frac{5}{x^{2} \cdot 2} x^{5} + C x^{5}$

解题步骤 7.8.4.2.1.2.2

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$v = \frac{5}{x^{2} \cdot 2} (x^{2} x^{3}) + C x^{5}$

解题步骤 7.8.4.2.1.2.3

约去公因数。

$v = \frac{5}{x^{2} \cdot 2} (x^{2} x^{3}) + C x^{5}$

解题步骤 7.8.4.2.1.2.4

重写表达式。

$v = \frac{5}{2} x^{3} + C x^{5}$

解题步骤 7.8.4.2.1.3

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $x^{3}$ 。

$v = \frac{5 x^{3}}{2} + C x^{5}$

解题步骤 7.8.4.2.1.4

将 $\frac{5 x^{3}}{2}$ 和 $C x^{5}$ 重新排序。

$v = C x^{5} + \frac{5 x^{3}}{2}$

解题步骤 8

代入 $y^{- 5}$ 替换 $v$ 。

$y^{- 5} = C x^{5} + \frac{5 x^{3}}{2}$

微积分学 示例

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