微积分学示例

$(3 x y - y^{2}) d x + x (x - y) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 3 x y - y^{2}$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y - y^{2}]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $3 x y - y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [3 x y]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $3 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3 x y$ 对 $y$ 的导数是 $3 x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x - (2 y)$

解题步骤 1.4.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x - 2 y$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x (x - y)$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x - y)]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x - y$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x - y] + (x - y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $x - y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [- y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.3

因为 $- y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x - y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.4

化简表达式。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x - y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x - y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x - y) \cdot 1$

解题步骤 2.3.6

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $x - y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x - y$

解题步骤 2.3.6.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $3 x - 2 y$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $2 x - y$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$3 x - 2 y = 2 x - y$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$3 x - 2 y = 2 x - y$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $3 x - 2 y$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{3 x - 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $2 x - y$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{3 x - 2 y - (2 x - y)}{N}$

解题步骤 4.3

代入 $x (x - y)$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $x (x - y)$ 替换 $N$ 。

$\frac{3 x - 2 y - (2 x - y)}{x (x - y)}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

运用分配律。

$\frac{3 x - 2 y - (2 x) - - y}{x (x - y)}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 x - 2 y - 2 x - - y}{x (x - y)}$

解题步骤 4.3.2.3

乘以 $- - y$ 。

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解题步骤 4.3.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 x - 2 y - 2 x + 1 y}{x (x - y)}$

解题步骤 4.3.2.3.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x - 2 y - 2 x + y}{x (x - y)}$

解题步骤 4.3.2.4

从 $3 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{x - 2 y + y}{x (x - y)}$

解题步骤 4.3.2.5

将 $- 2 y$ 和 $y$ 相加。

$\frac{x - y}{x (x - y)}$

解题步骤 4.3.3

约去 $x - y$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

约去公因数。

$\frac{x - y}{x (x - y)}$

解题步骤 4.3.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

解题步骤 5.2

化简答案。

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解题步骤 5.2.1

化简。

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

解题步骤 5.2.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = | x | + C$

解题步骤 6

在 $(3 x y - y^{2}) d x + x (x - y) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $3 x y - y^{2}$ 乘以 $x$ 。

$(3 x y - y^{2}) x d x + x (x - y) d y = 0$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$(3 x y x - y^{2} x) d x + x (x - y) d y = 0$

解题步骤 6.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

移动 $x$ 。

$(3 (x \cdot x) y - y^{2} x) d x + x (x - y) d y = 0$

解题步骤 6.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + x (x - y) d y = 0$

解题步骤 6.4

将 $x (x - y)$ 乘以 $x$ 。

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + x (x - y) x d y = 0$

解题步骤 6.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

移动 $x$ 。

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + x \cdot x (x - y) d y = 0$

解题步骤 6.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + x^{2} (x - y) d y = 0$

解题步骤 6.6

运用分配律。

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + (x^{2} x + x^{2} (- y)) d y = 0$

解题步骤 6.7

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.7.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.7.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + (x^{2} x^{1} + x^{2} (- y)) d y = 0$

解题步骤 6.7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + (x^{2 + 1} + x^{2} (- y)) d y = 0$

解题步骤 6.7.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + (x^{3} + x^{2} (- y)) d y = 0$

解题步骤 6.8

使用乘法的交换性质重写。

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + (x^{3} - x^{2} y) d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y - y^{2} x d x$

解题步骤 8

对 $M (x, y) = 3 x^{2} y - y^{2} x$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int - y^{2} x d x$

解题步骤 8.2

由于 $3 y$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3 y$ 移到积分外。

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int - y^{2} x d x$

解题步骤 8.3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - y^{2} x d x$

解题步骤 8.4

由于 $- y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- y^{2}$ 移到积分外。

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - y^{2} \int x d x$

解题步骤 8.5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 8.6

化简。

$f (x, y) = 3 \cdot \frac{1}{3} y x^{3} - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 8.7

化简。

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解题步骤 8.7.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 8.7.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.7.2.1

约去公因数。

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 8.7.2.2

重写表达式。

$f (x, y) = 1 y x^{3} - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 8.7.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$f (x, y) = y x^{3} - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 8.7.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = y x^{3} - y^{2} \frac{x^{2}}{2} + C$

解题步骤 8.7.5

组合 $\frac{x^{2}}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$f (x, y) = y x^{3} - \frac{x^{2} y^{2}}{2} + C$

解题步骤 8.8

化简。

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解题步骤 8.8.1

重新排序项。

$f (x, y) = y x^{3} - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2}) + C$

解题步骤 8.8.2

去掉圆括号。

$f (x, y) = y x^{3} - (\frac{1}{2} x^{2}) y^{2} + C$

解题步骤 8.8.3

去掉圆括号。

$f (x, y) = y x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + C$

解题步骤 9

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = y x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} - x^{2} y$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [y x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $y x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $x^{3}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $y x^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ 。

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

解题步骤 11.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

解题步骤 11.3.3

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

解题步骤 11.4

计算 $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ 。

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解题步骤 11.4.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x^{3} + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

解题步骤 11.4.2

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$x^{3} + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

解题步骤 11.4.3

因为 $- \frac{x^{2}}{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- \frac{y^{2} x^{2}}{2}$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$x^{3} - \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

解题步骤 11.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{3} - \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

解题步骤 11.4.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{3} - 2 \frac{x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

解题步骤 11.4.6

组合 $- 2$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$x^{3} + \frac{- 2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

解题步骤 11.4.7

组合 $\frac{- 2 x^{2}}{2}$ 和 $y$ 。

$x^{3} + \frac{- 2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

解题步骤 11.4.8

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.4.8.1

从 $- 2 x^{2} y$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{3} + \frac{2 (- x^{2} y)}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

解题步骤 11.4.8.2

约去公因数。

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解题步骤 11.4.8.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{3} + \frac{2 (- x^{2} y)}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

解题步骤 11.4.8.2.2

约去公因数。

$x^{3} + \frac{2 (- x^{2} y)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

解题步骤 11.4.8.2.3

重写表达式。

$x^{3} + \frac{- x^{2} y}{1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

解题步骤 11.4.8.2.4

用 $- x^{2} y$ 除以 $1$ 。

$x^{3} - x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

解题步骤 11.5

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$x^{3} - x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{3} - x^{2} y$

解题步骤 11.6

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} + x^{3} - x^{2} y = x^{3} - x^{2} y$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 12.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d y}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.1.1

从等式两边同时减去 $x^{3}$ 。

$\frac{d g}{d y} - x^{2} y = x^{3} - x^{2} y - x^{3}$

解题步骤 12.1.2

在等式两边都加上 $x^{2} y$ 。

$\frac{d g}{d y} = x^{3} - x^{2} y - x^{3} + x^{2} y$

解题步骤 12.1.3

合并 $x^{3} - x^{2} y - x^{3} + x^{2} y$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.3.1

从 $x^{3}$ 中减去 $x^{3}$ 。

$\frac{d g}{d y} = - x^{2} y + 0 + x^{2} y$

解题步骤 12.1.3.2

将 $- x^{2} y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = - x^{2} y + x^{2} y$

解题步骤 12.1.3.3

将 $- x^{2} y$ 和 $x^{2} y$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = 0$

解题步骤 13

求 $0$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d y} = 0$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int 0 d y$

解题步骤 13.3

$0$ 对 $y$ 的积分为 $0$ 。

$g (y) = 0 + C$

解题步骤 13.4

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$g (y) = C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = y x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = y x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + C$

解题步骤 15

化简每一项。

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解题步骤 15.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (x, y) = y x^{3} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} + C$

解题步骤 15.2

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$f (x, y) = y x^{3} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

微积分学 示例

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