微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \sin (x + 3)$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \sin (x + 3) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \sin (x + 3) d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \sin (x + 3) d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u = x + 3$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u = x + 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $x + 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

解题步骤 2.3.1.1.2

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.3.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.3.1.1.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = \int \sin (u) d u$

解题步骤 2.3.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$y + C_{1} = - \cos (u) + C_{2}$

解题步骤 2.3.3

使用 $x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = - \cos (x + 3) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = - \cos (x + 3) + K$

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