微积分学示例

$(2 x y - x) d x + (y^{2} + x^{2}) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 2 x y - x$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - x]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $2 x y - x$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [2 x y]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $2 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x y$ 对 $y$ 的导数是 $2 x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- x]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = y^{2} + x^{2}$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $y^{2} + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 x$

解题步骤 2.5

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 x$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $2 x$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$2 x = 2 x$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$2 x = 2 x$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int 2 x y - x d x$

解题步骤 5

对 $M (x, y) = 2 x y - x$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 5.1

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int - x d x$

解题步骤 5.2

由于 $2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2 y$ 移到积分外。

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int - x d x$

解题步骤 5.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - x d x$

解题步骤 5.4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x d x$

解题步骤 5.5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 5.6

化简。

$f (x, y) = 2 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 5.7

化简。

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解题步骤 5.7.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 5.7.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.2.1

约去公因数。

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 5.7.2.2

重写表达式。

$f (x, y) = 1 y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 5.7.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$f (x, y) = y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 5.7.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

解题步骤 5.7.5

要将 $y x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

解题步骤 5.7.6

组合 $y x^{2}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

解题步骤 5.7.7

在公分母上合并分子。

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + C$

解题步骤 5.7.8

将 $2$ 移到 $y x^{2}$ 的左侧。

$f (x, y) = \frac{2 \cdot (y x^{2}) - x^{2}}{2} + C$

解题步骤 5.7.9

去掉圆括号。

$f (x, y) = \frac{2 y x^{2} - x^{2}}{2} + C$

解题步骤 5.8

重新排序项。

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + C$

解题步骤 6

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$

解题步骤 7

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + x^{2}$

解题步骤 8

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 8.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)] = y^{2} + x^{2}$

解题步骤 8.2

根据加法法则， $\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})]$ 。

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解题步骤 8.3.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [2 y x^{2} - x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [2 y x^{2} - x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

解题步骤 8.3.2

根据加法法则， $2 y x^{2} - x^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

解题步骤 8.3.3

因为 $2 x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y x^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

解题步骤 8.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

解题步骤 8.3.5

因为 $- x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

解题步骤 8.3.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (2 x^{2} + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

解题步骤 8.3.7

将 $2 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} (2 x^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

解题步骤 8.3.8

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{2} x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

解题步骤 8.3.9

组合 $\frac{2}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

解题步骤 8.3.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.10.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

解题步骤 8.3.10.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

解题步骤 8.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$x^{2} + \frac{d g}{d y} = y^{2} + x^{2}$

解题步骤 8.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} + x^{2} = y^{2} + x^{2}$

解题步骤 9

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 9.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d y}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.1.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + x^{2} - x^{2}$

解题步骤 9.1.2

合并 $y^{2} + x^{2} - x^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 9.1.2.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 0$

解题步骤 9.1.2.2

将 $y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$

解题步骤 10

求 $y^{2}$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 10.1

对 $\frac{d g}{d y} = y^{2}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{2} d y$

解题步骤 10.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int y^{2} d y$

解题步骤 10.3

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$g (y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

解题步骤 11

在 $f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

解题步骤 12

化简 $f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$ 。

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解题步骤 12.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1

运用分配律。

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2}) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

解题步骤 12.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.2.1

从 $2 y x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 (y x^{2})) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

解题步骤 12.1.2.2

约去公因数。

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 (y x^{2})) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

解题步骤 12.1.2.3

重写表达式。

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

解题步骤 12.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

解题步骤 12.1.4

要将 $y x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

解题步骤 12.1.5

组合 $y x^{2}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

解题步骤 12.1.6

在公分母上合并分子。

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

解题步骤 12.1.7

化简分子。

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解题步骤 12.1.7.1

从 $y x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 12.1.7.1.1

从 $y x^{2} \cdot 2$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) - x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

解题步骤 12.1.7.1.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

解题步骤 12.1.7.1.3

从 $x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2 - 1)}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

解题步骤 12.1.7.2

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

解题步骤 12.1.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} + \frac{y^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.2

要将 $\frac{x^{2} (2 y - 1)}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.3

要将 $\frac{y^{3}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

解题步骤 12.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 12.4.1

将 $\frac{x^{2} (2 y - 1)}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

解题步骤 12.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

解题步骤 12.4.3

将 $\frac{y^{3}}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} + C$

解题步骤 12.4.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3} \cdot 2}{6} + C$

解题步骤 12.5

在公分母上合并分子。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

解题步骤 12.6

化简分子。

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解题步骤 12.6.1

运用分配律。

$f (x, y) = \frac{(x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

解题步骤 12.6.2

使用乘法的交换性质重写。

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y + x^{2} \cdot - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

解题步骤 12.6.3

将 $- 1$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y - 1 \cdot x^{2}) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

解题步骤 12.6.4

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y - x^{2}) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

解题步骤 12.6.5

运用分配律。

$f (x, y) = \frac{2 x^{2} y \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

解题步骤 12.6.6

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - x^{2} \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

解题步骤 12.6.7

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - 3 x^{2} + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

解题步骤 12.6.8

将 $2$ 移到 $y^{3}$ 的左侧。

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - 3 x^{2} + 2 y^{3}}{6} + C$

微积分学 示例

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