微积分学示例

$(x y^{2} + 4 y^{2}) d y - 5 x d x = 0$

解题步骤 1

重写微分方程以符合精确微分方程方法。

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解题步骤 1.1

重写。

$- 5 x d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = - 5 x$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 5 x]$

解题步骤 2.2

因为 $- 5 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

解题步骤 3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x y^{2} + 4 y^{2}$ 的值。

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解题步骤 3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{2} + 4 y^{2}]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x y^{2} + 4 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

解题步骤 3.3.3

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

解题步骤 3.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.4.1

因为 $4 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} + 0$

解题步骤 3.4.2

将 $y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2}$

解题步骤 4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $y^{2}$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$0 = y^{2}$

解题步骤 4.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$0 = y^{2}$ 不是恒等式。

解题步骤 5

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

代入 $0$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 5.2

代入 $y^{2}$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{0 - y^{2}}{N}$

解题步骤 5.3

代入 $x y^{2} + 4 y^{2}$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 5.3.1

代入 $x y^{2} + 4 y^{2}$ 替换 $N$ 。

$\frac{0 - y^{2}}{x y^{2} + 4 y^{2}}$

解题步骤 5.3.2

从 $0$ 中减去 $y^{2}$ 。

$\frac{- y^{2}}{x y^{2} + 4 y^{2}}$

解题步骤 5.3.3

从 $x y^{2} + 4 y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $x y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{- y^{2}}{y^{2} x + 4 y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2

从 $4 y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{- y^{2}}{y^{2} x + y^{2} \cdot 4}$

解题步骤 5.3.3.3

从 $y^{2} x + y^{2} \cdot 4$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{- y^{2}}{y^{2} (x + 4)}$

解题步骤 5.3.4

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1

约去公因数。

$\frac{- y^{2}}{y^{2} (x + 4)}$

解题步骤 5.3.4.2

重写表达式。

$\frac{- 1}{x + 4}$

解题步骤 5.3.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{x + 4}$

解题步骤 5.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x + 4} d x}$

解题步骤 6

计算积分 $e^{\int - \frac{1}{x + 4} d x}$ 。

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解题步骤 6.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x + 4} d x}$

解题步骤 6.2

使 $u = x + 4$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.2.1

设 $u = x + 4$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $x + 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

解题步骤 6.2.1.2

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 6.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 6.2.1.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 6.2.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 6.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 6.3

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

解题步骤 6.4

化简。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

解题步骤 6.5

使用 $x + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x + 4 |)} + C$

解题步骤 6.6

化简每一项。

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解题步骤 6.6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- \ln (| x + 4 |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x + 4 |}^{- 1})} + C$

解题步骤 6.6.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| x + 4 |}^{- 1} + C$

解题步骤 6.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{| x + 4 |} + C$

解题步骤 7

在 $- 5 x d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{x + 4}$ 。

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解题步骤 7.1

将 $- 5 x$ 乘以 $\frac{1}{x + 4}$ 。

$- 5 x \frac{1}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.2

乘以 $- 5 x \frac{1}{x + 4}$ 。

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解题步骤 7.2.1

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{x + 4}$ 。

$x \frac{- 5}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{- 5}{x + 4}$ 。

$\frac{x \cdot - 5}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.3

将 $- 5$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{- 5 \cdot x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.5

将 $x y^{2} + 4 y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{x + 4}$ 。

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) \frac{1}{x + 4} d y = 0$

解题步骤 7.6

将 $x y^{2} + 4 y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{x + 4}$ 。

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{x y^{2} + 4 y^{2}}{x + 4} d y = 0$

解题步骤 7.7

从 $x y^{2} + 4 y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

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解题步骤 7.7.1

从 $x y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} x + 4 y^{2}}{x + 4} d y = 0$

解题步骤 7.7.2

从 $4 y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} x + y^{2} \cdot 4}{x + 4} d y = 0$

解题步骤 7.7.3

从 $y^{2} x + y^{2} \cdot 4$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} (x + 4)}{x + 4} d y = 0$

解题步骤 7.8

约去 $x + 4$ 的公因数。

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解题步骤 7.8.1

约去公因数。

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} (x + 4)}{x + 4} d y = 0$

解题步骤 7.8.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 8

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int y^{2} d y$

解题步骤 9

对 $N (x, y) = y^{2}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 9.1

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

解题步骤 10

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$

解题步骤 11

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

解题步骤 12

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 12.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3} + g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

解题步骤 12.2

根据加法法则， $\frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

解题步骤 12.3

因为 $\frac{1}{3} y^{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} y^{3}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

解题步骤 12.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$0 + \frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

解题步骤 12.5

将 $0$ 和 $\frac{d g}{d x}$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

解题步骤 13

求 $- \frac{5 x}{x + 4}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{5 x}{x + 4} d x$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int - \frac{5 x}{x + 4} d x$

解题步骤 13.3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$g (x) = - \int \frac{5 x}{x + 4} d x$

解题步骤 13.4

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$g (x) = - (5 \int \frac{x}{x + 4} d x)$

解题步骤 13.5

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$g (x) = - 5 \int \frac{x}{x + 4} d x$

解题步骤 13.6

用 $x$ 除以 $x + 4$ 。

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解题步骤 13.6.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$4$

$x$

$0$

解题步骤 13.6.2

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$1$
	$x$	+	$4$		$x$	+	$0$

解题步骤 13.6.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$4$

解题步骤 13.6.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x + 4$ 中的所有符号

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$4$

解题步骤 13.6.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$4$
					-	$4$

解题步骤 13.6.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$g (x) = - 5 \int 1 - \frac{4}{x + 4} d x$

解题步骤 13.7

将单个积分拆分为多个积分。

$g (x) = - 5 (\int d x + \int - \frac{4}{x + 4} d x)$

解题步骤 13.8

应用常数不变法则。

$g (x) = - 5 (x + C + \int - \frac{4}{x + 4} d x)$

解题步骤 13.9

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$g (x) = - 5 (x + C - \int \frac{4}{x + 4} d x)$

解题步骤 13.10

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$g (x) = - 5 (x + C - (4 \int \frac{1}{x + 4} d x))$

解题步骤 13.11

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$g (x) = - 5 (x + C - 4 \int \frac{1}{x + 4} d x)$

解题步骤 13.12

使 $u = x + 4$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 13.12.1

设 $u = x + 4$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 13.12.1.1

对 $x + 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

解题步骤 13.12.1.2

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 13.12.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 13.12.1.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 13.12.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 13.12.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$g (x) = - 5 (x + C - 4 \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 13.13

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$g (x) = - 5 (x + C - 4 (\ln (| u |) + C))$

解题步骤 13.14

化简。

$g (x) = - 5 (x - 4 \ln (| u |)) + C$

解题步骤 13.15

使用 $x + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$g (x) = - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

解题步骤 15

化简 $f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$ 。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

解题步骤 15.1.2

化简每一项。

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解题步骤 15.1.2.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 4 \ln (| x + 4 |)$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - \ln ({| x + 4 |}^{4})) + C$

解题步骤 15.1.2.2

去掉 ${| x + 4 |}^{4}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - \ln ({(x + 4)}^{4})) + C$

解题步骤 15.1.3

运用分配律。

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x - 5 (- \ln ({(x + 4)}^{4})) + C$

解题步骤 15.1.4

乘以 $- 5 (- \ln ({(x + 4)}^{4}))$ 。

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解题步骤 15.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + 5 \ln ({(x + 4)}^{4}) + C$

解题步骤 15.1.4.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $5 \ln ({(x + 4)}^{4})$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({({(x + 4)}^{4})}^{5}) + C$

解题步骤 15.1.5

将 ${({(x + 4)}^{4})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 15.1.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({(x + 4)}^{4 \cdot 5}) + C$

解题步骤 15.1.5.2

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({(x + 4)}^{20}) + C$

解题步骤 15.2

要将 $\ln ({(x + 4)}^{20})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3}}{3} + \ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot \frac{3}{3} + C$

解题步骤 15.3

组合 $\ln ({(x + 4)}^{20})$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3}}{3} + \frac{\ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3}{3} + C$

解题步骤 15.4

在公分母上合并分子。

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3}{3} + C$

解题步骤 15.5

化简分子。

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解题步骤 15.5.1

乘以 $\ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3$ 。

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解题步骤 15.5.1.1

将 $\ln ({(x + 4)}^{20})$ 和 $3$ 重新排序。

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + 3 \cdot \ln ({(x + 4)}^{20})}{3} + C$

解题步骤 15.5.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \cdot \ln ({(x + 4)}^{20})$ 。

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({({(x + 4)}^{20})}^{3})}{3} + C$

解题步骤 15.5.2

将 ${({(x + 4)}^{20})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 15.5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{20 \cdot 3})}{3} + C$

解题步骤 15.5.2.2

将 $20$ 乘以 $3$ 。

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{60})}{3} + C$

微积分学 示例

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