微积分学示例

$\frac{d x}{d t} = x^{2} + \frac{1}{36}$ , $x (0) = 2$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}}$ 。

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} (x^{2} + \frac{1}{36})$

解题步骤 1.2

约去 $x^{2} + \frac{1}{36}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} (x^{2} + \frac{1}{36})$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} d x = 1 d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} d x = \int d t$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{36}$ 重新排序。

$\int \frac{1}{\frac{1}{36} + x^{2}} d x = \int d t$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{36}$ 重写为 ${(\frac{1}{6})}^{2}$ 。

$\int \frac{1}{{(\frac{1}{6})}^{2} + x^{2}} d x = \int d t$

解题步骤 2.2.3

$\frac{1}{{(\frac{1}{6})}^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{\frac{1}{6}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1}$ 。

$\frac{1}{\frac{1}{6}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

解题步骤 2.2.4

化简。

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解题步骤 2.2.4.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{6}$ 。

$1 \cdot 6 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

解题步骤 2.2.4.2

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

解题步骤 2.2.4.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{6}$ 。

$6 \arctan (x \cdot 6) + C_{1} = \int d t$

解题步骤 2.2.4.4

将 $6$ 移到 $x$ 的左侧。

$6 \arctan (6 x) + C_{1} = \int d t$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$6 \arctan (6 x) + C_{1} = t + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$6 \arctan (6 x) = t + K$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $6 \arctan (6 x) = t + K$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $6 \arctan (6 x) = t + K$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 \arctan (6 x)}{6} = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 \arctan (6 x)}{6} = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

解题步骤 3.1.2.1.2

用 $\arctan (6 x)$ 除以 $1$ 。

$\arctan (6 x) = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

解题步骤 3.2

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $x$ 。

$6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$

解题步骤 3.3

将 $6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 x}{6} = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 x}{6} = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$

解题步骤 5

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $t$ ，将 $2$ 代入 $x$ ，在 $x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$ 中求 $K$ 的值。

$2 = \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6}$

解题步骤 6

求解 $K$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $\frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 2$ 。

$\frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 2$

解题步骤 6.2

等式两边同时乘以 $6$ 。

$6 \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 6 \cdot 2$

解题步骤 6.3

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.1

化简左边。

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解题步骤 6.3.1.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1.1.1

约去公因数。

$6 \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 6 \cdot 2$

解题步骤 6.3.1.1.2

重写表达式。

$\tan (\frac{0}{6} + K) = 6 \cdot 2$

解题步骤 6.3.2

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\tan (\frac{0}{6} + K) = 12$

解题步骤 6.4

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $K$ 。

$\frac{0}{6} + K = \arctan (12)$

解题步骤 6.5

化简左边。

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解题步骤 6.5.1

合并 $\frac{0}{6} + K$ 中相反的项。

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解题步骤 6.5.1.1

用 $0$ 除以 $6$ 。

$0 + K = \arctan (12)$

解题步骤 6.5.1.2

将 $0$ 和 $K$ 相加。

$K = \arctan (12)$

解题步骤 6.6

化简右边。

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解题步骤 6.6.1

计算 $\arctan (12)$ 。

$K = 1.48765509$

解题步骤 6.7

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$K = (3.14159265) + 1.48765509$

解题步骤 6.8

求解 $K$ 。

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解题步骤 6.8.1

去掉圆括号。

$K = 3.14159265 + 1.48765509$

解题步骤 6.8.2

去掉圆括号。

$K = (3.14159265) + 1.48765509$

解题步骤 6.8.3

将 $3.14159265$ 和 $1.48765509$ 相加。

$K = 4.62924774$

解题步骤 6.9

求 $\tan (\frac{0}{6} + K)$ 的周期。

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解题步骤 6.9.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 6.9.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 6.9.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 6.9.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 6.10

$\tan (\frac{0}{6} + K)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$K = 1.48765509 + π n, 4.62924774 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6.11

将 $1.48765509 + π n$ 和 $4.62924774 + π n$ 合并为 $1.48765509 + π n$ 。

$K = 1.48765509 + π n$

解题步骤 7

代入 $1.48765509 + π n$ 替换 $x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $1.48765509 + π n$ 替换 $K$ 。

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + 1.48765509 + π n)}{6}$

微积分学 示例

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