微积分学示例

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

解题步骤 1

重写该方程。

$e^{y} d y = \frac{2 \ln (x)}{x} d x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int e^{y} d y = \int \frac{2 \ln (x)}{x} d x d x$

解题步骤 2.2

$e^{y}$ 对 $y$ 的积分为 $e^{y}$ 。

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{2 \ln (x)}{x} d x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

组合 $\frac{2 \ln (x)}{x}$ 和 $d x$ 。

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{2 \ln (x) d x}{x} d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $2 d x$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2 d x$ 移到积分外。

$e^{y} + C_{1} = 2 d x \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

解题步骤 2.3.3

使 $u = \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.3.1

设 $u = \ln (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.1

对 $\ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 2.3.3.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 2.3.3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{y} + C_{1} = 2 d x \int u d u$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$e^{y} + C_{1} = 2 d x (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $2 d x (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$ 重写为 $2 d x \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$ 。

$e^{y} + C_{1} = 2 d x \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

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解题步骤 2.3.5.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{2} d x u^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.2

组合 $\frac{2}{2}$ 和 $d x$ 。

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 d x}{2} u^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.3.1

约去公因数。

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 d x}{2} u^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.3.2

用 $d x$ 除以 $1$ 。

$e^{y} + C_{1} = d x u^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{y} + C_{1} = d x \ln^{2} (x) + C_{2}$

解题步骤 2.3.7

重新排序项。

$e^{y} + C_{1} = \ln^{2} (x) d x + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$e^{y} = \ln^{2} (x) d x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{y}) = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$

解题步骤 3.2

展开左边。

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解题步骤 3.2.1

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{y})$ 。

$y \ln (e) = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$

解题步骤 3.2.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$y \cdot 1 = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$

解题步骤 3.2.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$

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