微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{y (1 + t^{2})}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

重新组合因数。

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{1 + t^{2}} \cdot \frac{1}{y}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d t} = y (\frac{2 t}{1 + t^{2}} \cdot \frac{1}{y})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{2 t}{1 + t^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t}{(1 + t^{2}) y}$

解题步骤 1.3.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

从 $(1 + t^{2}) y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t}{y (1 + t^{2})}$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t}{y (1 + t^{2})}$

解题步骤 1.3.2.3

重写表达式。

$y \frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{1 + t^{2}}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$y d y = \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

解题步骤 2.3.2

使 $u = 1 + t^{2}$ 。然后使 $d u = 2 t d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = t d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = 1 + t^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $1 + t^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

解题步骤 2.3.2.1.2

根据加法法则， $1 + t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 2.3.2.1.3

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 2.3.2.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 t$

解题步骤 2.3.2.1.5

将 $0$ 和 $2 t$ 相加。

$2 t$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 2.3.3.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.5.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.5.3

将 $\int \frac{1}{u} d u$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.7

使用 $1 + t^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| 1 + t^{2} |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = \ln (| 1 + t^{2} |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

运用分配律。

$y^{2} = 2 \ln (| 1 + t^{2} |) + 2 C$

解题步骤 3.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| 1 + t^{2} |)$ 。

$y^{2} = \ln ({| 1 + t^{2} |}^{2}) + 2 C$

解题步骤 3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\ln ({| 1 + t^{2} |}^{2}) + 2 C}$

解题步骤 3.5

去掉 ${| 1 + t^{2} |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$y = \pm \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

解题步骤 3.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

解题步骤 3.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

解题步骤 3.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + C}$

微积分学 示例

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