微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} \sqrt{y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{\sqrt{y}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (3 x^{2} \sqrt{y})$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{\sqrt{y}} (x^{2} \sqrt{y})$

解题步骤 1.2.2

将 $\frac{1}{\sqrt{y}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 (\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}) (x^{2} \sqrt{y})$

解题步骤 1.2.3

合并和化简分母。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{y}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} (x^{2} \sqrt{y})$

解题步骤 1.2.3.2

对 $\sqrt{y}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} (x^{2} \sqrt{y})$

解题步骤 1.2.3.3

对 $\sqrt{y}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} (x^{2} \sqrt{y})$

解题步骤 1.2.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} (x^{2} \sqrt{y})$

解题步骤 1.2.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} (x^{2} \sqrt{y})$

解题步骤 1.2.3.6

将 ${\sqrt{y}}^{2}$ 重写为 $y$ 。

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解题步骤 1.2.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x^{2} \sqrt{y})$

解题步骤 1.2.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x^{2} \sqrt{y})$

解题步骤 1.2.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (x^{2} \sqrt{y})$

解题步骤 1.2.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (x^{2} \sqrt{y})$

解题步骤 1.2.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{y^{1}} (x^{2} \sqrt{y})$

解题步骤 1.2.3.6.5

化简。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{y} (x^{2} \sqrt{y})$

解题步骤 1.2.4

组合 $3$ 和 $\frac{\sqrt{y}}{y}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{y}}{y} (x^{2} \sqrt{y})$

解题步骤 1.2.5

乘以 $\frac{3 \sqrt{y}}{y} (x^{2} \sqrt{y})$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{3 \sqrt{y}}{y}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 \sqrt{y})}{y} \sqrt{y}$

解题步骤 1.2.5.2

组合 $\frac{x^{2} (3 \sqrt{y})}{y}$ 和 $\sqrt{y}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 \sqrt{y}) \sqrt{y}}{y}$

解题步骤 1.2.5.3

对 $\sqrt{y}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}))}{y}$

解题步骤 1.2.5.4

对 $\sqrt{y}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}))}{y}$

解题步骤 1.2.5.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 {\sqrt{y}}^{1 + 1})}{y}$

解题步骤 1.2.5.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 {\sqrt{y}}^{2})}{y}$

解题步骤 1.2.6

将 ${\sqrt{y}}^{2}$ 重写为 $y$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{y}$

解题步骤 1.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{y}$

解题步骤 1.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

解题步骤 1.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

解题步骤 1.2.6.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 y^{1}}{y}$

解题步骤 1.2.6.5

化简。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 y}{y}$

解题步骤 1.2.7

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.7.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 y}{y}$

解题步骤 1.2.7.2

用 $x^{2} \cdot 3$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} \cdot 3$

解题步骤 1.2.8

将 $3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = 3 x^{2} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 3 x^{2} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 3 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.1.2

通过将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 3 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.1.3

将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 3 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.1.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 3 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.1.3.3

将负号移到分数的前面。

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 3 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{- \frac{1}{2}}$ 对 $y$ 的积分是 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 \int x^{2} d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ 重写为 $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.1

约去公因数。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2

重写表达式。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 1 x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.3

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} = x^{3} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 y^{\frac{1}{2}} = x^{3} + K$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $2 y^{\frac{1}{2}} = x^{3} + K$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.2.2

用 $y^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.2

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3

化简指数。

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解题步骤 3.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.3.1.1

化简 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1.1

将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{1} = {(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.2

化简。

$y = {(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 ${(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 ${(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ 重写为 $(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})$ 。

$y = (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1

运用分配律。

$y = \frac{x^{3}}{2} (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

运用分配律。

$y = \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.2.3

运用分配律。

$y = \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.1

合并。

$y = \frac{x^{3} x^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.2

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{x^{3 + 3}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.2.2

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$y = \frac{x^{6}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4

合并。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.6

合并。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.7

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.8

乘以 $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.8.1

将 $\frac{K}{2}$ 乘以 $\frac{K}{2}$ 。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.8.2

对 $K$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.8.3

对 $K$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.8.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.8.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.8.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.3.2

将 $\frac{x^{3} K}{4}$ 和 $\frac{K x^{3}}{4}$ 相加。

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解题步骤 3.3.2.1.3.2.1

将 $x^{3}$ 和 $K$ 重新排序。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.3.2.2

将 $\frac{K x^{3}}{4}$ 和 $\frac{K x^{3}}{4}$ 相加。

$y = \frac{x^{6}}{4} + 2 \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{x^{6}}{4} + 2 \frac{K x^{3}}{2 (2)} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.4.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{6}}{4} + 2 \frac{K x^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.4.3

重写表达式。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{K x^{3}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{K x^{3}}{2} + K$

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