微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \sin (3 x + π)$ , $y (0) = 4$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \sin (3 x + π) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \sin (3 x + π) d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \sin (3 x + π) d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u = 3 x + π$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u = 3 x + π$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $3 x + π$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x + π]$

解题步骤 2.3.1.1.2

根据加法法则， $3 x + π$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [π]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [π]$

解题步骤 2.3.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π]$

解题步骤 2.3.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π]$

解题步骤 2.3.1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [π]$

解题步骤 2.3.1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1.1.4.1

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 + 0$

解题步骤 2.3.1.1.4.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2.3.2

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

解题步骤 2.3.4

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \cos (u) + C_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

化简。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \cos (u)) + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\cos (u)$ 。

$y + C_{1} = - \frac{\cos (u)}{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6

使用 $3 x + π$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = - \frac{\cos (3 x + π)}{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7

重新排序项。

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \cos (3 x + π) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = - \frac{1}{3} \cos (3 x + π) + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $4$ 代入 $y$ ，在 $y = - \frac{1}{3} \cos (3 x + π) + K$ 中求 $K$ 的值。

$4 = - \frac{1}{3} \cos (3 \cdot 0 + π) + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot 0 + π) + K = 4$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot 0 + π) + K = 4$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \cos (0 + π) + K = 4$

解题步骤 4.2.1.2

将 $0$ 和 $π$ 相加。

$- \frac{1}{3} \cdot \cos (π) + K = 4$

解题步骤 4.2.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- \frac{1}{3} \cdot (- \cos (0)) + K = 4$

解题步骤 4.2.1.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot (- 1 \cdot 1) + K = 4$

解题步骤 4.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot - 1 + K = 4$

解题步骤 4.2.1.6

乘以 $- \frac{1}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.2.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{3}) + K = 4$

解题步骤 4.2.1.6.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} + K = 4$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $\frac{1}{3}$ 。

$K = 4 - \frac{1}{3}$

解题步骤 4.3.2

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

解题步骤 4.3.3

组合 $4$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

解题步骤 4.3.4

在公分母上合并分子。

$K = \frac{4 \cdot 3 - 1}{3}$

解题步骤 4.3.5

化简分子。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$K = \frac{12 - 1}{3}$

解题步骤 4.3.5.2

从 $12$ 中减去 $1$ 。

$K = \frac{11}{3}$

解题步骤 5

代入 $\frac{11}{3}$ 替换 $y = - \frac{1}{3} \cos (3 x + π) + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $\frac{11}{3}$ 替换 $K$ 。

$y = - \frac{1}{3} \cos (3 x + π) + \frac{11}{3}$

解题步骤 5.2

组合 $\cos (3 x + π)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$y = - \frac{\cos (3 x + π)}{3} + \frac{11}{3}$

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