微积分学示例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} = 4 x$

解题步骤 1

设 $v = \frac{d y}{d x}$ 。然后 $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 。将 $v$ 代入 $\frac{d y}{d x}$ ，将 $\frac{d v}{d x}$ 代入 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ，得到一个因变量 $v$ 和自变量 $x$ 的微分方程。

$\frac{d v}{d x} + 2 v = 4 x$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 2$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int 2 d x}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{2 x + C_{1}}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{2 x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{2 x}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + e^{2 x} (2 v) = e^{2 x} (4 x)$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = e^{2 x} (4 x)$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = 4 e^{2 x} x$

解题步骤 3.4

将 $e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = 4 e^{2 x} x$ 中的因式重新排序。

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 v e^{2 x} = 4 x e^{2 x}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} v] = 4 x e^{2 x}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} v] d x = \int 4 x e^{2 x} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{2 x} v = \int 4 x e^{2 x} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$e^{2 x} v = 4 \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 7.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} v = 4 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} v = 4 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

解题步骤 7.3.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

解题步骤 7.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

解题步骤 7.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

解题步骤 7.5

使 $u_{1} = 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 7.5.1

设 $u_{1} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 7.5.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 7.5.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 7.5.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 7.5.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1})$

解题步骤 7.6

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1})$

解题步骤 7.7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}))$

解题步骤 7.8

化简。

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解题步骤 7.8.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 7.8.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 7.9

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C_{2}))$

解题步骤 7.10

将 $4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C_{2}))$ 重写为 $4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}}) + C_{2}$ 。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}}) + C_{2}$

解题步骤 7.11

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C_{2}$

解题步骤 7.12

化简。

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解题步骤 7.12.1

化简每一项。

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解题步骤 7.12.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C_{2}$

解题步骤 7.12.1.2

组合 $\frac{x}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C_{2}$

解题步骤 7.12.1.3

组合 $e^{2 x}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

解题步骤 7.12.2

运用分配律。

$e^{2 x} v = 4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

解题步骤 7.12.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.12.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{2 x} v = 2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

解题步骤 7.12.3.2

约去公因数。

$e^{2 x} v = 2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

解题步骤 7.12.3.3

重写表达式。

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

解题步骤 7.12.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.12.4.1

将 $- \frac{e^{2 x}}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C_{2}$

解题步骤 7.12.4.2

约去公因数。

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C_{2}$

解题步骤 7.12.4.3

重写表达式。

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) - e^{2 x} + C_{2}$

$e^{2 x} v = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C_{2}$

解题步骤 8

将 $e^{2 x} v = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C_{2}$ 中的每一项除以 $e^{2 x}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{2 x} v = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C_{2}$ 中的每一项都除以 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

约去 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.1

约去公因数。

$v = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.3.1.1.2

用 $2 x$ 除以 $1$ 。

$v = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.3.1.2

约去 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.2.1

约去公因数。

$v = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.3.1.2.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$v = 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 9

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换所有出现的 $v$ 。

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 10

重写该方程。

$d y = (2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}) d x$

解题步骤 11

对两边积分。

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解题步骤 11.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

解题步骤 11.2

应用常数不变法则。

$y + C_{3} = \int 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

解题步骤 11.3

对右边积分。

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解题步骤 11.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{3} = \int 2 x d x + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

解题步骤 11.3.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$y + C_{3} = 2 \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

解题步骤 11.3.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

解题步骤 11.3.4

应用常数不变法则。

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - x + C_{5} + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

解题步骤 11.3.5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

解题步骤 11.3.6

由于 $C_{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $C_{2}$ 移到积分外。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int \frac{1}{e^{2 x}} d x$

解题步骤 11.3.7

化简表达式。

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解题步骤 11.3.7.1

将 $e^{2 x}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int 1 {(e^{2 x})}^{- 1} d x$

解题步骤 11.3.7.2

化简。

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解题步骤 11.3.7.2.1

将 ${(e^{2 x})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.3.7.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{2 x \cdot - 1} d x$

解题步骤 11.3.7.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 11.3.7.2.2

将 $e^{- 2 x}$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int e^{- 2 x} d x$

解题步骤 11.3.8

使 $u_{2} = - 2 x$ 。然后使 $d u_{2} = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 11.3.8.1

设 $u_{2} = - 2 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 11.3.8.1.1

对 $- 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 11.3.8.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 11.3.8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 11.3.8.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 11.3.8.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

解题步骤 11.3.9

化简。

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解题步骤 11.3.9.1

将负号移到分数的前面。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

解题步骤 11.3.9.2

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

解题步骤 11.3.10

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

解题步骤 11.3.11

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

解题步骤 11.3.12

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} (- \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{6}))$

解题步骤 11.3.13

化简。

$y + C_{3} = x^{2} - x + C_{2} (- \frac{1}{2} e^{u_{2}}) + C_{7}$

解题步骤 11.3.14

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$y + C_{3} = x^{2} - x + C_{2} (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) + C_{7}$

解题步骤 11.3.15

重新排序项。

$y + C_{3} = x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} C_{2} - x + C_{7}$

解题步骤 11.4

将右边的积分常数分组为 $D$ 。

$y = x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} C - x + D$

微积分学 示例

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