微积分学示例

$(2 x + 3) y^{6} d x + x^{4} (4 y + 5) d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $(2 x + 3) y^{6} d x$ 。

$x^{4} (4 y + 5) d y = - (2 x + 3) y^{6} d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{x^{4} y^{6}}$ 。

$\frac{1}{x^{4} y^{6}} (x^{4} (4 y + 5)) d y = \frac{1}{x^{4} y^{6}} (- (2 x + 3) y^{6}) d x$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

约去 $x^{4}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

从 $x^{4} y^{6}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{1}{x^{4} (y^{6})} (x^{4} (4 y + 5)) d y = \frac{1}{x^{4} y^{6}} (- (2 x + 3) y^{6}) d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{x^{4} y^{6}} (x^{4} (4 y + 5)) d y = \frac{1}{x^{4} y^{6}} (- (2 x + 3) y^{6}) d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y^{6}} (4 y + 5) d y = \frac{1}{x^{4} y^{6}} (- (2 x + 3) y^{6}) d x$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{y^{6}}$ 乘以 $4 y + 5$ 。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{1}{x^{4} y^{6}} (- (2 x + 3) y^{6}) d x$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = - \frac{1}{x^{4} y^{6}} ((2 x + 3) y^{6}) d x$

解题步骤 3.4

约去 $y^{6}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

将 $- \frac{1}{x^{4} y^{6}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{- 1}{x^{4} y^{6}} ((2 x + 3) y^{6}) d x$

解题步骤 3.4.2

从 $x^{4} y^{6}$ 中分解出因数 $y^{6}$ 。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{- 1}{y^{6} x^{4}} ((2 x + 3) y^{6}) d x$

解题步骤 3.4.3

从 $(2 x + 3) y^{6}$ 中分解出因数 $y^{6}$ 。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{- 1}{y^{6} x^{4}} (y^{6} (2 x + 3)) d x$

解题步骤 3.4.4

约去公因数。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{- 1}{y^{6} x^{4}} (y^{6} (2 x + 3)) d x$

解题步骤 3.4.5

重写表达式。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{- 1}{x^{4}} (2 x + 3) d x$

解题步骤 3.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = - \frac{1}{x^{4}} (2 x + 3) d x$

解题步骤 3.6

运用分配律。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (- \frac{1}{x^{4}} (2 x) - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

解题步骤 3.7

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1

将 $- \frac{1}{x^{4}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1}{x^{4}} (2 x) - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

解题步骤 3.7.2

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1}{x \cdot x^{3}} (2 x) - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

解题步骤 3.7.3

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1}{x \cdot x^{3}} (x \cdot 2) - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

解题步骤 3.7.4

约去公因数。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1}{x \cdot x^{3}} (x \cdot 2) - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

解题步骤 3.7.5

重写表达式。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1}{x^{3}} \cdot 2 - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

解题步骤 3.8

组合 $\frac{- 1}{x^{3}}$ 和 $2$ 。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1 \cdot 2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

解题步骤 3.9

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

解题步骤 3.10

乘以 $- \frac{1}{x^{4}} \cdot 3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.10.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 2}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}) d x$

解题步骤 3.10.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 2}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{4}}) d x$

解题步骤 3.11

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.11.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (- \frac{2}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{4}}) d x$

解题步骤 3.11.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (- \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}) d x$

解题步骤 4

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

通过将 $y^{6}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (4 y + 5) {(y^{6})}^{- 1} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2.1.2

将 ${(y^{6})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (4 y + 5) y^{6 \cdot - 1} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2.1.2.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (4 y + 5) y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2.2

乘以 $(4 y + 5) y^{- 6}$ 。

$\int 4 y \cdot y^{- 6} + 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2.3

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{- 6}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1

移动 $y^{- 6}$ 。

$\int 4 (y^{- 6} y) + 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2.3.2

将 $y^{- 6}$ 乘以 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 4 (y^{- 6} y^{1}) + 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 4 y^{- 6 + 1} + 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2.3.3

将 $- 6$ 和 $1$ 相加。

$\int 4 y^{- 5} + 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 4 y^{- 5} d y + \int 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2.5

由于 $4$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int y^{- 5} d y + \int 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2.6

根据幂法则， $y^{- 5}$ 对 $y$ 的积分是 $- \frac{1}{4} y^{- 4}$ 。

$4 (- \frac{1}{4} y^{- 4} + C_{1}) + \int 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2.7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.7.1

组合 $y^{- 4}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$4 (- \frac{y^{- 4}}{4} + C_{1}) + \int 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2.7.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- 4}$ 移动到分母。

$4 (- \frac{1}{4 y^{4}} + C_{1}) + \int 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2.8

由于 $5$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$4 (- \frac{1}{4 y^{4}} + C_{1}) + 5 \int y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2.9

根据幂法则， $y^{- 6}$ 对 $y$ 的积分是 $- \frac{1}{5} y^{- 5}$ 。

$4 (- \frac{1}{4 y^{4}} + C_{1}) + 5 (- \frac{1}{5} y^{- 5} + C_{2}) = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2.10

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.10.1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.10.1.1

组合 $y^{- 5}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$4 (- \frac{1}{4 y^{4}} + C_{1}) + 5 (- \frac{y^{- 5}}{5} + C_{2}) = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2.10.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- 5}$ 移动到分母。

$4 (- \frac{1}{4 y^{4}} + C_{1}) + 5 (- \frac{1}{5 y^{5}} + C_{2}) = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2.10.2

化简。

$\frac{- 1}{y^{4}} + 5 (- \frac{1}{5 y^{5}}) + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2.10.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.10.3.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{y^{4}} + 5 (- \frac{1}{5 y^{5}}) + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2.10.3.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{1}{y^{4}} - 5 \frac{1}{5 y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2.10.3.3

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{5 y^{5}}$ 。

$- \frac{1}{y^{4}} + \frac{- 5}{5 y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2.10.3.4

约去 $- 5$ 和 $5$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.10.3.4.1

从 $- 5$ 中分解出因数 $5$ 。

$- \frac{1}{y^{4}} + \frac{5 \cdot - 1}{5 y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2.10.3.4.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.10.3.4.2.1

从 $5 y^{5}$ 中分解出因数 $5$ 。

$- \frac{1}{y^{4}} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (y^{5})} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2.10.3.4.2.2

约去公因数。

$- \frac{1}{y^{4}} + \frac{5 \cdot - 1}{5 y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2.10.3.4.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{y^{4}} + \frac{- 1}{y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2.10.3.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.3.2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - \int \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.3.3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.3.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.3.4.2

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.3.4.3

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.3.4.3.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 \int x^{- 3} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.3.5

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{4}) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.3.6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.6.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{4}) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.3.6.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.3.7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - \int \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.3.8

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - (3 \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

解题步骤 4.3.9

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.9.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.3.9.2

通过将 $x^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

解题步骤 4.3.9.3

将 ${(x^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.9.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.3.9.3.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 \int x^{- 4} d x$

解题步骤 4.3.10

根据幂法则， $x^{- 4}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{5})$

解题步骤 4.3.11

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.11.1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.11.1.1

组合 $x^{- 3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{5})$

解题步骤 4.3.11.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{5})$

解题步骤 4.3.11.2

化简。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - \frac{- 1}{x^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{6}$

解题步骤 4.3.11.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.11.3.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - - \frac{1}{x^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{6}$

解题步骤 4.3.11.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = 1 \frac{1}{x^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{6}$

解题步骤 4.3.11.3.3

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \frac{1}{x^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{6}$

解题步骤 4.3.11.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \frac{1}{x^{2}} + 3 \frac{1}{3 x^{3}} + C_{6}$

解题步骤 4.3.11.3.5

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3 x^{3}}$ 。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{3 x^{3}} + C_{6}$

解题步骤 4.3.11.3.6

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.11.3.6.1

约去公因数。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{3 x^{3}} + C_{6}$

解题步骤 4.3.11.3.6.2

重写表达式。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} + C_{6}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} + K$

微积分学 示例

微积分学示例