微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 x}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{3 x}$

解题步骤 1.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{3 x}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{3 x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{3 x} d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{3 x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} (\ln (| x |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \ln (| x |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

化简右边。

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解题步骤 3.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| x |)}{3} + C$

解题步骤 3.2

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x |)}{3} = C$

解题步骤 3.3

化简左边。

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解题步骤 3.3.1

化简 $\ln (| y |) - \frac{\ln (| x |)}{3}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1.1

将 $\frac{\ln (| x |)}{3}$ 重写为 $\frac{1}{3} \ln (| x |)$ 。

$\ln (| y |) - (\frac{1}{3} \ln (| x |)) = C$

解题步骤 3.3.1.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{3} \ln (| x |)$ 。

$\ln (| y |) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{3}}) = C$

解题步骤 3.3.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

解题步骤 3.4

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}})} = e^{C}$

解题步骤 3.5

使用对数的定义将 $\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}}) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = \frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 3.6

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.6.1

将方程重写为 $\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} = e^{C}$ 。

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} = e^{C}$

解题步骤 3.6.2

两边同时乘以 ${| x |}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} {| x |}^{\frac{1}{3}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 3.6.3

化简左边。

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解题步骤 3.6.3.1

约去 ${| x |}^{\frac{1}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.3.1.1

约去公因数。

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} {| x |}^{\frac{1}{3}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 3.6.3.1.2

重写表达式。

$| y | = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 3.6.4

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

化简积分常数。

$y = \pm C {| x |}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.2

用加号或减号合并常数。

$y = C {| x |}^{\frac{1}{3}}$

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