微积分学示例

$\frac{d y}{d x} - 2 y = x + 5$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 2$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int - 2 d x}$

解题步骤 1.2

应用常数不变法则。

$e^{- 2 x + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{- 2 x}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{- 2 x}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{- 2 x}$ 。

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot 5$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot 5$

解题步骤 2.3

将 $5$ 移到 $e^{- 2 x}$ 的左侧。

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} x + 5 e^{- 2 x}$

解题步骤 2.4

将 $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} x + 5 e^{- 2 x}$ 中的因式重新排序。

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = x e^{- 2 x} + 5 e^{- 2 x}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = x e^{- 2 x} + 5 e^{- 2 x}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int x e^{- 2 x} + 5 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{- 2 x} y = \int x e^{- 2 x} + 5 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

将单个积分拆分为多个积分。

$e^{- 2 x} y = \int x e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- 2 x}$ 。

$e^{- 2 x} y = x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.3.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.4

由于 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.5

化简。

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解题步骤 6.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.5.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.6

使 $u_{1} = - 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 6.6.1

设 $u_{1} = - 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 6.6.1.1

对 $- 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 6.6.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 6.6.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 6.6.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.7

化简。

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解题步骤 6.7.1

将负号移到分数的前面。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.7.2

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.8

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.10

化简。

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解题步骤 6.10.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.10.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.11

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.12

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.13

使 $u_{2} = - 2 x$ 。然后使 $d u_{2} = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 6.13.1

设 $u_{2} = - 2 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 6.13.1.1

对 $- 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 6.13.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.13.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 6.13.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 6.13.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

解题步骤 6.14

化简。

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解题步骤 6.14.1

将负号移到分数的前面。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

解题步骤 6.14.2

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

解题步骤 6.15

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

解题步骤 6.16

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 5 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

解题步骤 6.17

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 5 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 6.18

化简。

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解题步骤 6.18.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 5$ 。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 5}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 6.18.2

将负号移到分数的前面。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - \frac{5}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 6.19

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - \frac{5}{2} (e^{u_{2}} + C)$

解题步骤 6.20

化简。

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解题步骤 6.20.1

化简。

$e^{- 2 x} y = - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 6.20.2

化简。

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解题步骤 6.20.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 6.20.2.2

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{x}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 6.21

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 6.21.1

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 6.21.2

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

解题步骤 6.22

化简。

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解题步骤 6.22.1

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

解题步骤 6.22.2

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C$

解题步骤 6.23

重新排序项。

$e^{- 2 x} y = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

解题步骤 7

求解 $y$ 。

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解题步骤 7.1

化简。

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解题步骤 7.1.1

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x}}{2} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

解题步骤 7.1.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

解题步骤 7.1.3

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

解题步骤 7.1.4

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C$

解题步骤 7.2

将 $e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C$ 中的每一项除以 $e^{- 2 x}$ 并化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C$ 中的每一项都除以 $e^{- 2 x}$ 。

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.1

约去 $e^{- 2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.2

将 $5$ 移到 $e^{- 2 x}$ 的左侧。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5 e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.3

要将 $- \frac{5 e^{- 2 x}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5 e^{- 2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 7.2.3.4.1

将 $\frac{5 e^{- 2 x}}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5 e^{- 2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5 e^{- 2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.5

化简项。

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解题步骤 7.2.3.5.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- e^{- 2 x} - 5 e^{- 2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.5.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.3.5.2.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.5.2.1.1

从 $- e^{- 2 x} - 5 e^{- 2 x} \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

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解题步骤 7.2.3.5.2.1.1.1

从 $- e^{- 2 x}$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} \cdot - 1 - 5 e^{- 2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.5.2.1.1.2

从 $- 5 e^{- 2 x} \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} \cdot - 1 + e^{- 2 x} (- 5 \cdot 2)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.5.2.1.1.3

从 $e^{- 2 x} \cdot - 1 + e^{- 2 x} (- 5 \cdot 2)$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 1 - 5 \cdot 2)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.5.2.1.2

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 1 - 10)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.5.2.1.3

从 $- 1$ 中减去 $10$ 。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} \cdot - 11}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.5.2.2

将 $- 11$ 移到 $e^{- 2 x}$ 的左侧。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 11 \cdot e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.5.2.3

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.6

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.6.1

要将 $- \frac{x e^{- 2 x}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 7.2.3.6.2.1

将 $\frac{x e^{- 2 x}}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{4} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.3

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{- x e^{- 2 x} \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.4

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.6.4.1

从 $- x e^{- 2 x} \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

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解题步骤 7.2.3.6.4.1.1

从 $- x e^{- 2 x} \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.4.1.2

从 $- 11 e^{- 2 x}$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 11}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.4.1.3

从 $e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 11$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2 - 11)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x - 11)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.5

要将 $C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x - 11)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.6

组合 $C$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x - 11)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.7

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x - 11) + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.8

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.6.8.1

运用分配律。

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 11 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.8.2

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{\frac{- 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot - 11 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.8.3

将 $- 11$ 移到 $e^{- 2 x}$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{- 2 e^{- 2 x} x - 11 \cdot e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.8.4

将 $4$ 移到 $C$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{- 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.7

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.8

将 $\frac{- 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4}$ 乘以 $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ 。

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.9

从 $- 2 e^{- 2 x} x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x) - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.10

从 $- 11 e^{- 2 x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x) - (11 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.11

从 $- (2 e^{- 2 x} x) - (11 e^{- 2 x})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.12

从 $4 C$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x}) - (- 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.13

从 $- (2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x}) - (- 4 C)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.14

化简表达式。

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解题步骤 7.2.3.14.1

将 $- (2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C)$ 重写为 $- 1 (2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C)$ 。

$y = \frac{- 1 (2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.14.2

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.3.14.3

将 $- \frac{2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$ 中的因式重新排序。

$y = - \frac{2 x e^{- 2 x} + 11 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

微积分学 示例

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