微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = 2 - \frac{3 y}{25 + 2 t}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ 。

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解题步骤 1.1

将方程重写为 $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ 。

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解题步骤 1.1.1

在等式两边都加上 $\frac{3 y}{25 + 2 t}$ 。

$\frac{d y}{d t} + \frac{3 y}{25 + 2 t} = 2$

解题步骤 1.1.2

重新排序项。

$\frac{d y}{d t} + \frac{3 y}{2 t + 25} = 2$

解题步骤 1.2

从 $\frac{3 y}{2 t + 25}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d t} + y \frac{3}{2 t + 25} = 2$

解题步骤 1.3

将 $y$ 和 $\frac{3}{2 t + 25}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d t} + \frac{3}{2 t + 25} y = 2$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (t) d t}$ 定义，其中 $P (t) = \frac{3}{2 t + 25}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{3}{2 t + 25} d t}$

解题步骤 2.2

对 $\frac{3}{2 t + 25}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$e^{3 \int \frac{1}{2 t + 25} d t}$

解题步骤 2.2.2

使 $u = 2 t + 25$ 。然后使 $d u = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.2.1

设 $u = 2 t + 25$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $2 t + 25$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t + 25]$

解题步骤 2.2.2.1.2

根据加法法则， $2 t + 25$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$ 。

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$

解题步骤 2.2.2.1.3

计算 $\frac{d}{d t} [2 t]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.3.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25]$

解题步骤 2.2.2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25]$

解题步骤 2.2.2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d t} [25]$

解题步骤 2.2.2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.2.2.1.4.1

因为 $25$ 对于 $t$ 是常数，所以 $25$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 2.2.2.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 2.2.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

解题步骤 2.2.3.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$e^{3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

解题步骤 2.2.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

解题步骤 2.2.5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $3$ 。

$e^{\frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 2.2.6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$e^{\frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

解题步骤 2.2.7

化简。

$e^{\frac{3}{2} \ln (| u |) + C}$

解题步骤 2.2.8

使用 $2 t + 25$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{\frac{3}{2} \ln (| 2 t + 25 |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{\frac{3}{2} \ln (2 t + 25)}$

解题步骤 2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln ({(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ 。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (\frac{3}{2 t + 25} y) = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{3}{2 t + 25}$ 和 $y$ 。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{3 y}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

解题步骤 3.2.2

组合 ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{3 y}{2 t + 25}$ 。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (3 y)}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

解题步骤 3.2.3

从 ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (3 y)$ 中分解出因数 $2 t + 25$ 。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

解题步骤 3.2.4

约去公因数。

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解题步骤 3.2.4.1

乘以 $1$ 。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{(2 t + 25) \cdot 1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

解题步骤 3.2.4.2

约去公因数。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{(2 t + 25) \cdot 1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

解题步骤 3.2.4.3

重写表达式。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{{(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y)}{1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

解题步骤 3.2.4.4

用 ${(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y)$ 除以 $1$ 。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y) = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

解题步骤 3.2.5

使用乘法的交换性质重写。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

解题步骤 3.3

将 $2$ 移到 ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = 2 \cdot {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.4

将 ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ 中的因式重新排序。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 y {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d t} [{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y] = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d t} [{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y] d t = \int 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

解题步骤 6

对左边积分。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \int 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

由于 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

解题步骤 7.2

使 $u = 2 t + 25$ 。然后使 $d u = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.2.1

设 $u = 2 t + 25$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $2 t + 25$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t + 25]$

解题步骤 7.2.1.2

根据加法法则， $2 t + 25$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$ 。

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$

解题步骤 7.2.1.3

计算 $\frac{d}{d t} [2 t]$ 。

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解题步骤 7.2.1.3.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25]$

解题步骤 7.2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25]$

解题步骤 7.2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d t} [25]$

解题步骤 7.2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 7.2.1.4.1

因为 $25$ 对于 $t$ 是常数，所以 $25$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 7.2.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 7.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 7.3

组合 $u^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

解题步骤 7.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

解题步骤 7.5

化简。

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解题步骤 7.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 7.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.2.1

约去公因数。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 7.5.2.2

重写表达式。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 1 \int u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 7.5.3

将 $\int u^{\frac{3}{2}} d u$ 乘以 $1$ 。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \int u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 7.6

根据幂法则， $u^{\frac{3}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 7.7

使用 $2 t + 25$ 替换所有出现的 $u$ 。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 8

将 ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$ 中的每一项除以 ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$ 中的每一项都除以 ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去公因数。

$\frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 8.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 8.3.2

组合 $\frac{2}{5}$ 和 ${(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}$ 。

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 8.3.3

要将 $C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + C \cdot \frac{5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 8.3.4

化简项。

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解题步骤 8.3.4.1

组合 $C$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{C \cdot 5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 8.3.4.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C \cdot 5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 8.3.5

将 $5$ 移到 $C$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 8.3.6

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5} \cdot \frac{1}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 8.3.7

将 $\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5}$ 乘以 $\frac{1}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$y = \frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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