微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{x^{4}}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{3}{x^{4}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

解题步骤 2.3.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.2.1

通过将 $x^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$y + C_{1} = 3 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.2.2

将 ${(x^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{1} = 3 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.3.2.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{1} = 3 \int x^{- 4} d x$

$y + C_{1} = 3 \int x^{- 4} d x$

$y + C_{1} = 3 \int x^{- 4} d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{- 4}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 。

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{2})$

解题步骤 2.3.4

化简答案。

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解题步骤 2.3.4.1

化简。

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解题步骤 2.3.4.1.1

组合 $x^{- 3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$y + C_{1} = 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{2})$

解题步骤 2.3.4.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2})$

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2})$

解题步骤 2.3.4.2

化简。

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.3

化简。

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解题步骤 2.3.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$y + C_{1} = - 3 \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.3.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{3 x^{3}}$ 。

$y + C_{1} = \frac{- 3}{3 x^{3}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.3.3

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.4.3.3.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{3}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.4.3.3.2.1

从 $3 x^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{3})} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.3.3.2.2

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{3}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.3.3.2.3

重写表达式。

$y + C_{1} = \frac{- 1}{x^{3}} + C_{2}$

$y + C_{1} = \frac{- 1}{x^{3}} + C_{2}$

$y + C_{1} = \frac{- 1}{x^{3}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.3.4

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = - \frac{1}{x^{3}} + C_{2}$

$y + C_{1} = - \frac{1}{x^{3}} + C_{2}$

$y + C_{1} = - \frac{1}{x^{3}} + C_{2}$

$y + C_{1} = - \frac{1}{x^{3}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = - \frac{1}{x^{3}} + K$

$y = - \frac{1}{x^{3}} + K$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$