微积分学示例

$x y \frac{d y}{d x} + y^{2} = \frac{1}{y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

从等式两边同时减去 $y^{2}$ 。

$x y \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} - y^{2}$

解题步骤 1.1.2

将 $x y \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} - y^{2}$ 中的每一项除以 $x y$ 并化简。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $x y \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} - y^{2}$ 中的每一项都除以 $x y$ 。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{\frac{1}{y}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{\frac{1}{y}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{\frac{1}{y}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{\frac{1}{y}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2.2.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{y}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

乘以 $\frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x y}$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.1.2.1

将 $\frac{1}{y}$ 乘以 $\frac{1}{x y}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (x y)} + \frac{- y^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2.2

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x (y^{1} y)} + \frac{- y^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2.3

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x (y^{1} y^{1})} + \frac{- y^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{1 + 1}} + \frac{- y^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{- y^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2.3.1.3

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.1.3.1

从 $- y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{y (- y)}{x y}$

解题步骤 1.1.2.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.1.3.2.1

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{y (- y)}{y x}$

解题步骤 1.1.2.3.1.3.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{y (- y)}{y x}$

解题步骤 1.1.2.3.1.3.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 1.1.2.3.1.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} - \frac{y}{x}$

解题步骤 1.2

因数。

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解题步骤 1.2.1

要将 $- \frac{y}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} - \frac{y}{x} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 1.2.2

将 $\frac{y}{x}$ 乘以 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} - \frac{y \cdot y^{2}}{x y^{2}}$

解题步骤 1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y \cdot y^{2}}{x y^{2}}$

解题步骤 1.2.4

化简分子。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y \cdot y^{2}}{x y^{2}}$

解题步骤 1.2.4.2

将 $y \cdot y^{2}$ 重写为 $y^{3}$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - (y^{1} y^{2})}{x y^{2}}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y^{1 + 2}}{x y^{2}}$

解题步骤 1.2.4.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y^{3}}{x y^{2}}$

解题步骤 1.2.4.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1^{2} + 1 y + y^{2})}{x y^{2}}$

解题步骤 1.2.4.4

化简。

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解题步骤 1.2.4.4.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + 1 y + y^{2})}{x y^{2}}$

解题步骤 1.2.4.4.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{x y^{2}}$

解题步骤 1.3

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 1.4

两边同时乘以 $\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})}$ 。

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} (\frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

合并。

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \cdot \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{y^{2} x}$

解题步骤 1.5.2

合并。

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} ((1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1)}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (y^{2} x)}$

解题步骤 1.5.3

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.1

约去公因数。

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} ((1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1)}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (y^{2} x)}$

解题步骤 1.5.3.2

重写表达式。

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (x)}$

解题步骤 1.5.4

约去 $1 - y$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) x}$

解题步骤 1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 + y + y^{2}) (x)}$

解题步骤 1.5.5

约去 $1 + y + y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.1

约去公因数。

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 + y + y^{2}) x}$

解题步骤 1.5.5.2

重写表达式。

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 1.6

重写该方程。

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} d y = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} d y = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = (1 - y) (1 + y + y^{2})$ 。然后使 $d u = - 3 y^{2} d y$ ，以便 $- \frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = (1 - y) (1 + y + y^{2})$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $(1 - y) (1 + y + y^{2})$ 求导。

$\frac{d}{d y} [(1 - y) (1 + y + y^{2})]$

解题步骤 2.2.1.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = 1 - y$ 且 $g (y) = 1 + y + y^{2}$ 。

$(1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y + y^{2}] + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

解题步骤 2.2.1.1.3

求微分。

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解题步骤 2.2.1.1.3.1

根据加法法则， $1 + y + y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$(1 - y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

解题步骤 2.2.1.1.3.2

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$(1 - y) (0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

解题步骤 2.2.1.1.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [y]$ 相加。

$(1 - y) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

解题步骤 2.2.1.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(1 - y) (1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

解题步骤 2.2.1.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

解题步骤 2.2.1.1.3.6

根据加法法则， $1 - y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]$ 。

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y])$

解题步骤 2.2.1.1.3.7

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

解题步骤 2.2.1.1.3.8

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [- y]$ 相加。

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 2.2.1.1.3.9

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (- \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.2.1.1.3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.2.1.1.3.11

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.1.3.11.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \cdot - 1$

解题步骤 2.2.1.1.3.11.2

将 $- 1$ 移到 $1 + y + y^{2}$ 的左侧。

$(1 - y) (1 + 2 y) - 1 \cdot (1 + y + y^{2})$

解题步骤 2.2.1.1.3.11.3

将 $- 1 (1 + y + y^{2})$ 重写为 $- (1 + y + y^{2})$ 。

$(1 - y) (1 + 2 y) - (1 + y + y^{2})$

解题步骤 2.2.1.1.4

化简。

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解题步骤 2.2.1.1.4.1

运用分配律。

$(1 - y) (1 + 2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.4.2

运用分配律。

$(1 - y) \cdot 1 + (1 - y) (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.4.3

运用分配律。

$1 \cdot 1 - y \cdot 1 + (1 - y) (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.4.4

运用分配律。

$1 \cdot 1 - y \cdot 1 + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.4.5

合并项。

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解题步骤 2.2.1.1.4.5.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$1 - y \cdot 1 + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.4.5.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 - y + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.4.5.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$1 - y + 2 y - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.4.5.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$1 - y + 2 y - 2 y \cdot y - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.4.5.5

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - y + 2 y - 2 (y^{1} y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.4.5.6

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - y + 2 y - 2 (y^{1} y^{1}) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.4.5.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 - y + 2 y - 2 y^{1 + 1} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.4.5.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 - y + 2 y - 2 y^{2} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.4.5.9

将 $- y$ 和 $2 y$ 相加。

$1 + y - 2 y^{2} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.4.5.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 + y - 2 y^{2} - 1 - y - y^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.4.5.11

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$y - 2 y^{2} + 0 - y - y^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.4.5.12

将 $y - 2 y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$y - 2 y^{2} - y - y^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.4.5.13

从 $y$ 中减去 $y$ 。

$- 2 y^{2} + 0 - y^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.4.5.14

将 $- 2 y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$- 2 y^{2} - y^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.4.5.15

从 $- 2 y^{2}$ 中减去 $y^{2}$ 。

$- 3 y^{2}$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将负号移到分数的前面。

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.2.2

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.2.3

将 $3$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int - \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.5

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.6

化简。

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.7

使用 $(1 - y) (1 + y + y^{2})$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $- 3$ 。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |))$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(1 - y) (1 + y + y^{2})$ 。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2

化简项。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + 1 y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.3

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1.5.1

移动 $y$ 。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - (y \cdot y) - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.5.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.6

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1.6.1

移动 $y^{2}$ 。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - (y^{2} y) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.6.2

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1.6.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - (y^{2} y^{1}) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{2 + 1} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.6.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

化简项。

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解题步骤 3.2.1.1.2.2.1

合并 $1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.2.1.1.2.2.1.1

从 $y$ 中减去 $y$ 。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} + 0 - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2.1.2

将 $1 + y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2.1.3

从 $y^{2}$ 中减去 $y^{2}$ 。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + 0 - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2.1.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2.2

组合 $\ln (| 1 - y^{3} |)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- 3 (- \frac{\ln (| 1 - y^{3} |)}{3}) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.2.3.1

将 $- \frac{\ln (| 1 - y^{3} |)}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$- 3 \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2.3.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2.3.3

约去公因数。

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2.3.4

重写表达式。

$- - \ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2.4

乘。

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解题步骤 3.2.1.1.2.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2.4.2

将 $\ln (| 1 - y^{3} |)$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

运用分配律。

$\ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 \ln (| x |) - 3 C$

解题步骤 3.3

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| 1 - y^{3} |) + 3 \ln (| x |) = - 3 C$

解题步骤 3.4

化简左边。

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解题步骤 3.4.1

化简 $\ln (| 1 - y^{3} |) + 3 \ln (| x |)$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (| x |)$ 。

$\ln (| 1 - y^{3} |) + \ln ({| x |}^{3}) = - 3 C$

解题步骤 3.4.1.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}) = - 3 C$

解题步骤 3.5

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3})} = e^{- 3 C}$

解题步骤 3.6

使用对数的定义将 $\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}) = - 3 C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- 3 C} = | 1 - y^{3} | {| x |}^{3}$

解题步骤 3.7

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.7.1

将方程重写为 $| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ 。

$| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$

解题步骤 3.7.2

将 $| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ 中的每一项除以 ${| x |}^{3}$ 并化简。

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解题步骤 3.7.2.1

将 $| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ 中的每一项都除以 ${| x |}^{3}$ 。

$\frac{| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

解题步骤 3.7.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.7.2.2.1

约去 ${| x |}^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

解题步骤 3.7.2.2.1.2

用 $| 1 - y^{3} |$ 除以 $1$ 。

$| 1 - y^{3} | = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

解题步骤 3.7.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$1 - y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

解题步骤 3.7.4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$

解题步骤 3.7.5

将 $- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.7.5.1

将 $- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.7.5.2

化简左边。

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解题步骤 3.7.5.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.7.5.2.2

用 $y^{3}$ 除以 $1$ 。

$y^{3} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.7.5.3

化简右边。

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解题步骤 3.7.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.7.5.3.1.1

移动 $\frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1}$ 中分母的负号。

$y^{3} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.7.5.3.1.2

将 $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ 重写为 $- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ 。

$y^{3} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.7.5.3.1.3

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$y^{3} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 1$

解题步骤 3.7.6

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 1}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

化简积分常数。

$y = \sqrt[3]{- (\pm \frac{C}{{| x |}^{3}}) + 1}$

解题步骤 4.2

用加号或减号合并常数。

$y = \sqrt[3]{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 1}$

微积分学 示例

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