微积分学示例

$(x + 2) d x - x d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $(x + 2) d x$ 。

$- x d y = - (x + 2) d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x} (- x) d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{1}{x} x d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

解题步骤 3.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

将 $- \frac{1}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{x} x d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

解题步骤 3.2.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{x} x d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

解题步骤 3.2.3

重写表达式。

$- 1 d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$- 1 d y = - \frac{1}{x} (x + 2) d x$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$- 1 d y = (- \frac{1}{x} x - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

解题步骤 3.5

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

将 $- \frac{1}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$- 1 d y = (\frac{- 1}{x} x - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

解题步骤 3.5.2

约去公因数。

$- 1 d y = (\frac{- 1}{x} x - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

解题步骤 3.5.3

重写表达式。

$- 1 d y = (- 1 - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

解题步骤 3.6

乘以 $- \frac{1}{x} \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 1 d y = (- 1 - 2 \frac{1}{x}) d x$

解题步骤 3.6.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$- 1 d y = (- 1 + \frac{- 2}{x}) d x$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$- 1 d y = (- 1 - \frac{2}{x}) d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int - 1 d y = \int - 1 - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 4.2

应用常数不变法则。

$- y + C_{1} = \int - 1 - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$- y + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 4.3.2

应用常数不变法则。

$- y + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 4.3.3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{2}{x} d x$

解题步骤 4.3.4

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 4.3.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.6

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - 2 (\ln (| x |) + C_{3})$

解题步骤 4.3.7

化简。

$- y + C_{1} = - x - 2 \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- y = - x - 2 \ln (| x |) + C$

解题步骤 5

将 $- y = - x - 2 \ln (| x |) + C$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $- y = - x - 2 \ln (| x |) + C$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 5.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

将两个负数相除得到一个正数。

$y = \frac{x}{1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 5.3.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$y = x + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 5.3.1.3

移动 $\frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = x - 1 \cdot (- 2 \ln (| x |)) + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 5.3.1.4

将 $- 1 \cdot (- 2 \ln (| x |))$ 重写为 $- (- 2 \ln (| x |))$ 。

$y = x - (- 2 \ln (| x |)) + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 5.3.1.5

乘以 $- (- 2 \ln (| x |))$ 。

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解题步骤 5.3.1.5.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (| x |)$ 。

$y = x - - \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 5.3.1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y = x + 1 \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 5.3.1.5.3

将 $\ln ({| x |}^{2})$ 乘以 $1$ 。

$y = x + \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 5.3.1.6

去掉 ${| x |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$y = x + \ln (x^{2}) + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 5.3.1.7

移动 $\frac{C}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = x + \ln (x^{2}) - 1 \cdot C$

解题步骤 5.3.1.8

将 $- 1 \cdot C$ 重写为 $- C$ 。

$y = x + \ln (x^{2}) - C$

解题步骤 6

化简积分常数。

$y = x + \ln (x^{2}) + C$

微积分学 示例

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