微积分学示例

$\frac{d u}{d t} = \frac{(u + 1) (t + 1)}{(u + 2) (t - 1)}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

重新组合因数。

$\frac{d u}{d t} = \frac{u + 1}{u + 2} \cdot \frac{t + 1}{t - 1}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{u + 2}{u + 1}$ 。

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{u + 2}{u + 1} (\frac{u + 1}{u + 2} \cdot \frac{t + 1}{t - 1})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{u + 1}{u + 2}$ 乘以 $\frac{t + 1}{t - 1}$ 。

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{u + 2}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{(u + 2) (t - 1)}$

解题步骤 1.3.2

约去 $u + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{u + 2}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{(u + 2) (t - 1)}$

解题步骤 1.3.2.2

重写表达式。

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{t - 1}$

解题步骤 1.3.3

约去 $u + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.1

约去公因数。

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{t - 1}$

解题步骤 1.3.3.2

重写表达式。

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{t + 1}{t - 1}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{u + 2}{u + 1} d u = \frac{t + 1}{t - 1} d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{u + 2}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

用 $u + 2$ 除以 $u + 1$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$u$

$1$

$u$

$2$

解题步骤 2.2.1.2

将被除数中的最高阶项 $u$ 除以除数中的最高阶项 $u$ 。

					$1$
	$u$	+	$1$		$u$	+	$2$

解题步骤 2.2.1.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$u$	+	$1$		$u$	+	$2$
			+	$u$	+	$1$

解题步骤 2.2.1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $u + 1$ 中的所有符号

				$1$
$u$	+	$1$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$1$

解题步骤 2.2.1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$u$	+	$1$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$1$
					+	$1$

解题步骤 2.2.1.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int 1 + \frac{1}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

解题步骤 2.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d u + \int \frac{1}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

解题步骤 2.2.3

应用常数不变法则。

$u + C_{1} + \int \frac{1}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

解题步骤 2.2.4

使 $u_{1} = u + 1$ 。然后使 $d u_{1} = d u$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.4.1

设 $u_{1} = u + 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d u}$ 。

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解题步骤 2.2.4.1.1

对 $u + 1$ 求导。

$\frac{d}{d u} [u + 1]$

解题步骤 2.2.4.1.2

根据加法法则， $u + 1$ 对 $u$ 的导数是 $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$ 。

$\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$

解题步骤 2.2.4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d u} [1]$

解题步骤 2.2.4.1.4

因为 $1$ 对于 $u$ 是常数，所以 $1$ 对 $u$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.4.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.4.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$u + C_{1} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

解题步骤 2.2.5

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$u + C_{1} + \ln (| u_{1} |) + C_{2} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

解题步骤 2.2.6

化简。

$u + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

解题步骤 2.2.7

使用 $u + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

用 $t + 1$ 除以 $t - 1$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$t$

$1$

$t$

$1$

解题步骤 2.3.1.2

将被除数中的最高阶项 $t$ 除以除数中的最高阶项 $t$ 。

					$1$
	$t$	-	$1$		$t$	+	$1$

解题步骤 2.3.1.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$t$	-	$1$		$t$	+	$1$
			+	$t$	-	$1$

解题步骤 2.3.1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $t - 1$ 中的所有符号

				$1$
$t$	-	$1$		$t$	+	$1$
			-	$t$	+	$1$

解题步骤 2.3.1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$t$	-	$1$		$t$	+	$1$
			-	$t$	+	$1$
					+	$2$

解题步骤 2.3.1.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = \int 1 + \frac{2}{t - 1} d t$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = \int d t + \int \frac{2}{t - 1} d t$

解题步骤 2.3.3

应用常数不变法则。

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + \int \frac{2}{t - 1} d t$

解题步骤 2.3.4

由于 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + 2 \int \frac{1}{t - 1} d t$

解题步骤 2.3.5

使 $u_{2} = t - 1$ 。然后使 $d u_{2} = d t$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.5.1

设 $u_{2} = t - 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d t}$ 。

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解题步骤 2.3.5.1.1

对 $t - 1$ 求导。

$\frac{d}{d t} [t - 1]$

解题步骤 2.3.5.1.2

根据加法法则， $t - 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.3.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.3.5.1.4

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.5.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.5.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.6

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{5})$

解题步骤 2.3.7

化简。

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + 2 \ln (| u_{2} |) + C_{6}$

解题步骤 2.3.8

使用 $t - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + 2 \ln (| t - 1 |) + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$u + \ln (| u + 1 |) = t + 2 \ln (| t - 1 |) + C$

微积分学 示例

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