微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = y^{2} + 9$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{2} + 9}$ 。

$\frac{1}{y^{2} + 9} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 9} (y^{2} + 9)$

解题步骤 1.2

约去 $y^{2} + 9$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{y^{2} + 9} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 9} (y^{2} + 9)$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2} + 9} \frac{d y}{d x} = 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y^{2} + 9} d y = 1 d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{2} + 9} d y = \int d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $y^{2}$ 和 $9$ 重新排序。

$\int \frac{1}{9 + y^{2}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\int \frac{1}{3^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{3^{2} + y^{2}}$ 对 $y$ 的积分为 $\frac{1}{3} \arctan (\frac{y}{3}) + C_{1}$ 。

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{y}{3}) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.2.3.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\arctan (\frac{y}{3})$ 。

$\frac{\arctan (\frac{y}{3})}{3} + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.2.3.2

将 $\frac{\arctan (\frac{y}{3})}{3} + C_{1}$ 重写为 $\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) + C_{1}$ 。

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) + C_{1} = x + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) = x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) = x + K$ 中的每一项乘以 $3$ 以消去分数。

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) = x + K$ 中的每一项乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) \cdot 3 = x \cdot 3 + K \cdot 3$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y$ 。

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{y}{3}) \cdot 3 = x \cdot 3 + K \cdot 3$

解题步骤 3.1.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\arctan (\frac{y}{3})$ 。

$\frac{\arctan (\frac{y}{3})}{3} \cdot 3 = x \cdot 3 + K \cdot 3$

解题步骤 3.1.2.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.3.1

约去公因数。

$\frac{\arctan (\frac{y}{3})}{3} \cdot 3 = x \cdot 3 + K \cdot 3$

解题步骤 3.1.2.3.2

重写表达式。

$\arctan (\frac{y}{3}) = x \cdot 3 + K \cdot 3$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.1.1

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\arctan (\frac{y}{3}) = 3 \cdot x + K \cdot 3$

解题步骤 3.1.3.1.2

将 $3$ 移到 $K$ 的左侧。

$\arctan (\frac{y}{3}) = 3 x + 3 K$

解题步骤 3.2

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$\frac{y}{3} = \tan (3 x + 3 K)$

解题步骤 3.3

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 \frac{y}{3} = 3 \tan (3 x + 3 K)$

解题步骤 3.4

化简左边。

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解题步骤 3.4.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1.1

约去公因数。

$3 \frac{y}{3} = 3 \tan (3 x + 3 K)$

解题步骤 3.4.1.2

重写表达式。

$y = 3 \tan (3 x + 3 K)$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = 3 \tan (3 x + K)$

微积分学 示例

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