微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} y}{e^{2 - x^{3}}}$ , $y (0) = 1$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y)$

解题步骤 1.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

从 $\frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}})$

解题步骤 1.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}})$

解题步骤 1.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

解题步骤 2.3.2

化简表达式。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $e^{2 - x^{3}}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} {(e^{2 - x^{3}})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.2.2

将 ${(e^{2 - x^{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{(2 - x^{3}) \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.3.2.2.2

运用分配律。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{2 \cdot - 1 - x^{3} \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.3.2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 - x^{3} \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.3.2.2.4

乘以 $- x^{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.3.2.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 + 1 x^{3}} d x$

解题步骤 2.3.2.2.4.2

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 + x^{3}} d x$

解题步骤 2.3.3

使 $u = - 2 + x^{3}$ 。然后使 $d u = 3 x^{2} d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.3.1

设 $u = - 2 + x^{3}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.1

对 $- 2 + x^{3}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 2 + x^{3}]$

解题步骤 2.3.3.1.2

根据加法法则， $- 2 + x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.3.3.1.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.3.3.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$0 + 3 x^{2}$

解题步骤 2.3.3.1.5

将 $0$ 和 $3 x^{2}$ 相加。

$3 x^{2}$

解题步骤 2.3.3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2.3.4

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

解题步骤 2.3.5

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $6$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{6}{3} \int e^{u} d u$

解题步骤 2.3.6.2

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} \int e^{u} d u$

解题步骤 2.3.6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int e^{u} d u$

解题步骤 2.3.6.2.2.2

约去公因数。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int e^{u} d u$

解题步骤 2.3.6.2.2.3

重写表达式。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{1} \int e^{u} d u$

解题步骤 2.3.6.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int e^{u} d u$

解题步骤 2.3.7

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (e^{u} + C_{2})$

解题步骤 2.3.8

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{u} + C_{2}$

解题步骤 2.3.9

使用 $- 2 + x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C} = | y |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| y | = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$ 。

$| y | = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

解题步骤 3.3.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$ 重写为 $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{2 e^{- 2 + x^{3}}} e^{C}$

解题步骤 4.2

将 $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

解题步骤 5

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $1$ 代入 $y$ ，在 $y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ 中求 $C$ 的值。

$1 = C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}}$

解题步骤 6

求解 $C$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}} = 1$ 。

$C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}} = 1$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$C e^{2 e^{- 2 + 0}} = 1$

解题步骤 6.2.2

将 $- 2$ 和 $0$ 相加。

$C e^{2 e^{- 2}} = 1$

解题步骤 6.2.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$C e^{2 \frac{1}{e^{2}}} = 1$

解题步骤 6.2.4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{e^{2}}$ 。

$C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$

解题步骤 6.3

将 $C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$ 中的每一项除以 $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$ 中的每一项都除以 $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ 。

$\frac{C e^{\frac{2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

约去公因数。

$\frac{C e^{\frac{2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

解题步骤 6.3.2.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

解题步骤 7

代入 $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ 替换 $y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ 替换 $C$ 。

$y = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ 和 $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ 。

$y = \frac{e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

解题步骤 7.3

从 $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ 中分解出因数 $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ 。

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

解题步骤 7.4

约去公因数。

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解题步骤 7.4.1

乘以 $1$ 。

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}} \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2

约去公因数。

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}} \cdot 1}$

解题步骤 7.4.3

重写表达式。

$y = \frac{e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{1}$

解题步骤 7.4.4

用 $e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}$ 除以 $1$ 。

$y = e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}$

解题步骤 7.5

化简分子。

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解题步骤 7.5.1

从 $2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 7.5.1.1

从 $2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) - 2}{e^{2}}}$

解题步骤 7.5.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) + 2 (- 1)}{e^{2}}}$

解题步骤 7.5.1.3

从 $2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 1)}{e^{2}}}$

解题步骤 7.5.2

通过指数相加将 $e^{- 2 + x^{3}}$ 乘以 $e^{2}$ 。

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解题步骤 7.5.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3} + 2} - 1)}{e^{2}}}$

解题步骤 7.5.2.2

合并 $- 2 + x^{3} + 2$ 中相反的项。

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解题步骤 7.5.2.2.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$y = e^{\frac{2 (e^{x^{3} + 0} - 1)}{e^{2}}}$

解题步骤 7.5.2.2.2

将 $x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$y = e^{\frac{2 (e^{x^{3}} - 1)}{e^{2}}}$

微积分学 示例

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