微积分学示例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d y}{d x}$

解题步骤 1

设 $v = \frac{d y}{d x}$ 。然后 $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 。将 $v$ 代入 $\frac{d y}{d x}$ ，将 $\frac{d v}{d x}$ 代入 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ，得到一个因变量 $v$ 和自变量 $x$ 的微分方程。

$\frac{d v}{d x} = v$

解题步骤 2

分离变量。

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解题步骤 2.1

两边同时乘以 $\frac{1}{v}$ 。

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} v$

解题步骤 2.2

约去 $v$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} v$

解题步骤 2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = 1$

解题步骤 2.3

重写该方程。

$\frac{1}{v} d v = 1 d x$

解题步骤 3

对两边积分。

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解题步骤 3.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{v} d v = \int d x$

解题步骤 3.2

$\frac{1}{v}$ 对 $v$ 的积分为 $\ln (| v |)$ 。

$\ln (| v |) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 3.3

应用常数不变法则。

$\ln (| v |) + C_{1} = x + C_{2}$

解题步骤 3.4

将右边的积分常数分组为 $C_{3}$ 。

$\ln (| v |) = x + C_{3}$

解题步骤 4

求解 $v$ 。

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解题步骤 4.1

要求解 $v$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| v |)} = e^{x + C_{3}}$

解题步骤 4.2

使用对数的定义将 $\ln (| v |) = x + C_{3}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{x + C_{3}} = | v |$

解题步骤 4.3

求解 $v$ 。

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解题步骤 4.3.1

将方程重写为 $| v | = e^{x + C_{3}}$ 。

$| v | = e^{x + C_{3}}$

解题步骤 4.3.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$v = \pm e^{x + C_{3}}$

解题步骤 5

将常数项组合在一起。

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解题步骤 5.1

将 $e^{x + C_{3}}$ 重写为 $e^{x} e^{C_{3}}$ 。

$v = \pm e^{x} e^{C_{3}}$

解题步骤 5.2

将 $e^{x}$ 和 $e^{C_{3}}$ 重新排序。

$v = \pm e^{C_{3}} e^{x}$

解题步骤 5.3

用加号或减号合并常数。

$v = C_{4} e^{x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换所有出现的 $v$ 。

$\frac{d y}{d x} = C_{4} e^{x}$

解题步骤 7

重写该方程。

$d y = C_{4} e^{x} d x$

解题步骤 8

对两边积分。

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解题步骤 8.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int C_{4} e^{x} d x$

解题步骤 8.2

应用常数不变法则。

$y + C_{5} = \int C_{4} e^{x} d x$

解题步骤 8.3

对右边积分。

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解题步骤 8.3.1

由于 $C_{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $C_{4}$ 移到积分外。

$y + C_{5} = C_{4} \int e^{x} d x$

解题步骤 8.3.2

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$y + C_{5} = C_{4} (e^{x} + C_{6})$

解题步骤 8.3.3

化简。

$y + C_{5} = C_{4} e^{x} + C_{7}$

解题步骤 8.3.4

重新排序项。

$y + C_{5} = e^{x} C_{4} + C_{7}$

解题步骤 8.4

将右边的积分常数分组为 $D$ 。

$y = e^{x} C + D$

微积分学 示例

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