微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \frac{1}{\sqrt{x + 1}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt{x + 1}} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{x + 1}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 2.3.1.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.1.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.3.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.3.2.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$y + C_{1} = \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.3.2.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{1} = \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.3.2.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$y + C_{1} = \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$y + C_{1} = 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

微积分学 示例

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