微积分学示例

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{1}{2} e^{x}$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 3$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int - 3 d x}$

解题步骤 1.2

应用常数不变法则。

$e^{- 3 x + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{- 3 x}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{- 3 x}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{- 3 x}$ 。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} (\frac{1}{2} e^{x})$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} (\frac{1}{2} e^{x})$

解题步骤 2.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{- 3 x} e^{x}$

解题步骤 2.4

通过指数相加将 $e^{- 3 x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 2.4.1

移动 $e^{x}$ 。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (e^{x} e^{- 3 x})$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{x - 3 x}$

解题步骤 2.4.3

从 $x$ 中减去 $3 x$ 。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{- 2 x}$

解题步骤 2.5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{- 2 x}$ 。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

解题步骤 2.6

将 $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{e^{- 2 x}}{2}$ 中的因式重新排序。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{- 3 x} y = \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.2

使 $u = - 2 x$ 。然后使 $d u = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.2.1

设 $u = - 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 6.2.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 6.2.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 6.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

将负号移到分数的前面。

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 6.3.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 6.4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

解题步骤 6.5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

解题步骤 6.6

化简。

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解题步骤 6.6.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

解题步骤 6.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

解题步骤 6.7

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

解题步骤 6.8

化简。

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{u} + C$

解题步骤 6.9

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

解题步骤 7

将 $e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ 中的每一项除以 $e^{- 3 x}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ 中的每一项都除以 $e^{- 3 x}$ 。

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $e^{- 3 x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

约去 $e^{- 2 x}$ 和 $e^{- 3 x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.1.1

从 $- \frac{1}{4} e^{- 2 x}$ 中分解出因数 $e^{- 3 x}$ 。

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 7.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.1.1.2.1

乘以 $1$ 。

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 7.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 7.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{- \frac{1}{4} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 7.3.1.1.2.4

用 $- \frac{1}{4} e^{x}$ 除以 $1$ 。

$y = - \frac{1}{4} e^{x} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 7.3.1.2

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$y = - \frac{e^{x}}{4} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

微积分学 示例

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