微积分学示例

$(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x} = x + 5$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将 $(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x} = x + 5$ 中的每一项除以 $x^{2} + 2 x - 3$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x} = x + 5$ 中的每一项都除以 $x^{2} + 2 x - 3$ 。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $x^{2} + 2 x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}$

解题步骤 1.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.1

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 5}{x^{2} + 2 x - 3}$

解题步骤 1.1.3.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 2 x - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.3.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $2$ 。

$- 1, 3$

解题步骤 1.1.3.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 1.2

重写该方程。

$d y = \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 2.3.1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x - 1}$

解题步骤 2.3.1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$

解题步骤 2.3.1.1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(x - 1) (x + 3)$ 。

$\frac{(x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 2.3.1.1.4

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.4.1

约去公因数。

$\frac{(x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 2.3.1.1.4.2

重写表达式。

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 2.3.1.1.5

约去 $x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.5.1

约去公因数。

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 2.3.1.1.5.2

用 $x + 5$ 除以 $1$ 。

$x + 5 = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 2.3.1.1.6

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1.6.1

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.6.1.1

约去公因数。

$x + 5 = \frac{A (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 2.3.1.1.6.1.2

用 $(A) (x + 3)$ 除以 $1$ 。

$x + 5 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 2.3.1.1.6.2

运用分配律。

$x + 5 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 2.3.1.1.6.3

将 $3$ 移到 $A$ 的左侧。

$x + 5 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 2.3.1.1.6.4

约去 $x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.6.4.1

约去公因数。

$x + 5 = A x + 3 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 2.3.1.1.6.4.2

用 $(B) (x - 1)$ 除以 $1$ 。

$x + 5 = A x + 3 A + (B) (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.1.6.5

运用分配律。

$x + 5 = A x + 3 A + B x + B \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.1.6.6

将 $- 1$ 移到 $B$ 的左侧。

$x + 5 = A x + 3 A + B x - 1 \cdot B$

解题步骤 2.3.1.1.6.7

将 $- 1 B$ 重写为 $- B$ 。

$x + 5 = A x + 3 A + B x - B$

解题步骤 2.3.1.1.7

移动 $3 A$ 。

$x + 5 = A x + B x + 3 A - B$

解题步骤 2.3.1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.3.1.2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A + B$

解题步骤 2.3.1.2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$5 = 3 A - 1 B$

解题步骤 2.3.1.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$1 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

$1 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

解题步骤 2.3.1.3

求解方程组。

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解题步骤 2.3.1.3.1

在 $1 = A + B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.1

将方程重写为 $A + B = 1$ 。

$A + B = 1$

$5 = 3 A - 1 B$

解题步骤 2.3.1.3.1.2

从等式两边同时减去 $B$ 。

$A = 1 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

解题步骤 2.3.1.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $1 - B$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.2.1

使用 $1 - B$ 替换 $5 = 3 A - 1 B$ 中所有出现的 $A$ .

$5 = 3 (1 - B) - 1 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.1.3.2.2.1

化简 $3 (1 - B) - 1 B$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.3.2.2.1.1.1

运用分配律。

$5 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.2.2.1.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$5 = 3 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.2.2.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$5 = 3 - 3 B - 1 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.2.2.1.1.4

将 $- 1 B$ 重写为 $- B$ 。

$5 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.2.2.1.2

从 $- 3 B$ 中减去 $B$ 。

$5 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.3

在 $5 = 3 - 4 B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.3.1

将方程重写为 $3 - 4 B = 5$ 。

$3 - 4 B = 5$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.3.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.1.3.3.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$- 4 B = 5 - 3$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.3.2.2

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$- 4 B = 2$

$A = 1 - B$

$- 4 B = 2$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.3.3

将 $- 4 B = 2$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1.3.3.3.1

将 $- 4 B = 2$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.3.3.3.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.3.3.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1.3.3.3.3.1

约去 $2$ 和 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.3.3.3.3.1.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$B = \frac{2 (1)}{- 4}$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.3.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.1.3.3.3.3.1.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$B = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.3.3.3.1.2.2

约去公因数。

$B = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.3.3.3.1.2.3

重写表达式。

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.3.3.3.2

将负号移到分数的前面。

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

解题步骤 2.3.1.3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $- \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.4.1

使用 $- \frac{1}{2}$ 替换 $A = 1 - B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = 1 - (- \frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.3.1.3.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.1.3.4.2.1

化简 $1 - (- \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.4.2.1.1

乘以 $- (- \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.4.2.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$A = 1 + 1 (\frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.3.1.3.4.2.1.1.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$A = 1 + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.3.1.3.4.2.1.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$A = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.3.1.3.4.2.1.3

在公分母上合并分子。

$A = \frac{2 + 1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.3.1.3.4.2.1.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.3.1.3.5

列出所有解。

$A = \frac{3}{2}, B = - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.3.1.4

将 $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{\frac{3}{2}}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 3}$

解题步骤 2.3.1.5

化简。

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解题步骤 2.3.1.5.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 3}$

解题步骤 2.3.1.5.2

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x - 1}$ 。

$\frac{3}{2 (x - 1)} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 3}$

解题步骤 2.3.1.5.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 3}$

解题步骤 2.3.1.5.4

将 $\frac{1}{x + 3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{(x + 3) \cdot 2}$

解题步骤 2.3.1.5.5

将 $2$ 移到 $x + 3$ 的左侧。

$y + C_{1} = \int \frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int \frac{3}{2 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{3}{2}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

解题步骤 2.3.4

使 $u_{1} = x - 1$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.4.1

设 $u_{1} = x - 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.4.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 2.3.4.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.4.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.4.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.4.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

解题步骤 2.3.5

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

解题步骤 2.3.6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - \int \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

解题步骤 2.3.7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 3} d x)$

解题步骤 2.3.8

使 $u_{2} = x + 3$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.8.1

设 $u_{2} = x + 3$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.8.1.1

对 $x + 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

解题步骤 2.3.8.1.2

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.3.8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.3.8.1.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.8.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.8.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.9

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3})$

解题步骤 2.3.10

化简。

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

解题步骤 2.3.11

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 2.3.11.1

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

解题步骤 2.3.11.2

使用 $x + 3$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 3 |) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y = \frac{3}{2} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 3 |) + C$

微积分学 示例

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