微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + y^{3} = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $y^{3}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - y^{3}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (- y^{3})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y^{3}} y^{3}$

解题步骤 1.3.2

约去 $y^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

将 $- \frac{1}{y^{3}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{3}} y^{3}$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{3}} y^{3}$

解题步骤 1.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = - 1$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{y^{3}} d y = - d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int - 1 d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

通过将 $y^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int - 1 d x$

解题步骤 2.2.1.2

将 ${(y^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int - 1 d x$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int y^{- 3} d y = \int - 1 d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{- 3}$ 对 $y$ 的积分是 $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ 。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int - 1 d x$

解题步骤 2.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ 重写为 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int - 1 d x$

解题步骤 2.2.3.2

化简。

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解题步骤 2.2.3.2.1

将 $\frac{1}{y^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int - 1 d x$

解题步骤 2.2.3.2.2

将 $2$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int - 1 d x$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - x + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$2 y^{2}, 1, 1$

解题步骤 3.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$2 y^{2}$

解题步骤 3.2

将 $- \frac{1}{2 y^{2}} = - x + K$ 中的每一项乘以 $2 y^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 3.2.1

将 $- \frac{1}{2 y^{2}} = - x + K$ 中的每一项乘以 $2 y^{2}$ 。

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - x (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $2 y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $- \frac{1}{2 y^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - x (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

解题步骤 3.2.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - x (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

解题步骤 3.2.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = - x (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$- 1 = - 1 \cdot 2 x y^{2} + K (2 y^{2})$

解题步骤 3.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 1 = - 2 x y^{2} + K (2 y^{2})$

解题步骤 3.2.3.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$- 1 = - 2 x y^{2} + 2 K y^{2}$

解题步骤 3.3

求解方程。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $- 2 x y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$ 。

$- 2 x y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

解题步骤 3.3.2

从 $- 2 x y^{2} + 2 K y^{2}$ 中分解出因数 $2 y^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

从 $- 2 x y^{2}$ 中分解出因数 $2 y^{2}$ 。

$2 y^{2} (- x) + 2 K y^{2} = - 1$

解题步骤 3.3.2.2

从 $2 K y^{2}$ 中分解出因数 $2 y^{2}$ 。

$2 y^{2} (- x) + 2 y^{2} K = - 1$

解题步骤 3.3.2.3

从 $2 y^{2} (- x) + 2 y^{2} K$ 中分解出因数 $2 y^{2}$ 。

$2 y^{2} (- x + K) = - 1$

解题步骤 3.3.3

将 $2 y^{2} (- x + K) = - 1$ 中的每一项除以 $2 (- x + K)$ 并化简。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $2 y^{2} (- x + K) = - 1$ 中的每一项都除以 $2 (- x + K)$ 。

$\frac{2 y^{2} (- x + K)}{2 (- x + K)} = \frac{- 1}{2 (- x + K)}$

解题步骤 3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y^{2} (- x + K)}{2 (- x + K)} = \frac{- 1}{2 (- x + K)}$

解题步骤 3.3.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y^{2} (- x + K)}{- x + K} = \frac{- 1}{2 (- x + K)}$

解题步骤 3.3.3.2.2

约去 $- x + K$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y^{2} (- x + K)}{- x + K} = \frac{- 1}{2 (- x + K)}$

解题步骤 3.3.3.2.2.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{- 1}{2 (- x + K)}$

解题步骤 3.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- x + K)}$

解题步骤 3.3.3.3.2

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (x) + K)}$

解题步骤 3.3.3.3.3

从 $K$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (x) - 1 (- K))}$

解题步骤 3.3.3.3.4

从 $- (x) - 1 (- K)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (x - K))}$

解题步骤 3.3.3.3.5

化简表达式。

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解题步骤 3.3.3.3.5.1

将 $- (x - K)$ 重写为 $- 1 (x - K)$ 。

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- 1 (x - K))}$

解题步骤 3.3.3.3.5.2

将负号移到分数的前面。

$y^{2} = - - \frac{1}{2 (x - K)}$

解题步骤 3.3.3.3.5.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y^{2} = 1 \frac{1}{2 (x - K)}$

解题步骤 3.3.3.3.5.4

将 $\frac{1}{2 (x - K)}$ 乘以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{1}{2 (x - K)}$

解题步骤 3.3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{2 (x - K)}}$

解题步骤 3.3.5

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{2 (x - K)}}$ 。

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解题步骤 3.3.5.1

将 $\sqrt{\frac{1}{2 (x - K)}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2 (x - K)}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2 (x - K)}}$

解题步骤 3.3.5.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2 (x - K)}}$

解题步骤 3.3.5.3

将 $\frac{1}{\sqrt{2 (x - K)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2 (x - K)}}{\sqrt{2 (x - K)}}$ 。

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2 (x - K)}} \cdot \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{\sqrt{2 (x - K)}}$

解题步骤 3.3.5.4

合并和化简分母。

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解题步骤 3.3.5.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2 (x - K)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2 (x - K)}}{\sqrt{2 (x - K)}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{\sqrt{2 (x - K)} \sqrt{2 (x - K)}}$

解题步骤 3.3.5.4.2

对 $\sqrt{2 (x - K)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{{\sqrt{2 (x - K)}}^{1} \sqrt{2 (x - K)}}$

解题步骤 3.3.5.4.3

对 $\sqrt{2 (x - K)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{{\sqrt{2 (x - K)}}^{1} {\sqrt{2 (x - K)}}^{1}}$

解题步骤 3.3.5.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{{\sqrt{2 (x - K)}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.3.5.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{{\sqrt{2 (x - K)}}^{2}}$

解题步骤 3.3.5.4.6

将 ${\sqrt{2 (x - K)}}^{2}$ 重写为 $2 (x - K)$ 。

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解题步骤 3.3.5.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 (x - K)}$ 重写成 ${(2 (x - K))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{{({(2 (x - K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.3.5.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{{(2 (x - K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.5.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{{(2 (x - K))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.3.5.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.5.4.6.4.1

约去公因数。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{{(2 (x - K))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.3.5.4.6.4.2

重写表达式。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{{(2 (x - K))}^{1}}$

解题步骤 3.3.5.4.6.5

化简。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{2 (x - K)}$

解题步骤 3.3.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.3.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{2 (x - K)}}{2 (x - K)}$

解题步骤 3.3.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。