微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{e^{3 y + 9}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $e^{3 y + 9}$ 。

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{x + 1}{e^{3 y + 9}}$

解题步骤 1.2

约去 $e^{3 y + 9}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{x + 1}{e^{3 y + 9}}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = x + 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$e^{3 y + 9} d y = (x + 1) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int e^{3 y + 9} d y = \int x + 1 d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = 3 y + 9$ 。然后使 $d u = 3 d y$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = 3 y + 9$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $3 y + 9$ 求导。

$\frac{d}{d y} [3 y + 9]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $3 y + 9$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$ 。

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$

解题步骤 2.2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d y} [3 y]$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3 y$ 对 $y$ 的导数是 $3 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

解题步骤 2.2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [9]$

解题步骤 2.2.1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d y} [9]$

解题步骤 2.2.1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.2.1.1.4.1

因为 $9$ 对于 $y$ 是常数，所以 $9$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$3 + 0$

解题步骤 2.2.1.1.4.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u = \int x + 1 d x$

解题步骤 2.2.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\int \frac{e^{u}}{3} d u = \int x + 1 d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u = \int x + 1 d x$

解题步骤 2.2.4

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{1}{3} (e^{u} + C_{1}) = \int x + 1 d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

$\frac{1}{3} e^{u} + C_{1} = \int x + 1 d x$

解题步骤 2.2.6

使用 $3 y + 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \int x + 1 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \int x d x + \int d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x$

解题步骤 2.3.3

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3}$

解题步骤 2.3.4

化简。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9}) = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{3 y + 9}$ 。

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$e^{3 y + 9} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$e^{3 y + 9} = 3 (\frac{x^{2}}{2} + x + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$e^{3 y + 9} = 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 x + 3 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

组合 $3$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$e^{3 y + 9} = \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{3 y + 9}) = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

解题步骤 3.4

展开左边。

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解题步骤 3.4.1

通过将 $3 y + 9$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{3 y + 9})$ 。

$(3 y + 9) \ln (e) = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

解题步骤 3.4.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$(3 y + 9) \cdot 1 = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

解题步骤 3.4.3

将 $3 y + 9$ 乘以 $1$ 。

$3 y + 9 = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

解题步骤 3.5

从等式两边同时减去 $9$ 。

$3 y = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K) - 9$

解题步骤 3.6

将 $3 y = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K) - 9$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.6.1

将 $3 y = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K) - 9$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

解题步骤 3.6.2

化简左边。

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解题步骤 3.6.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

解题步骤 3.6.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

解题步骤 3.6.3

化简右边。

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解题步骤 3.6.3.1

用 $- 9$ 除以 $3$ 。

$y = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} - 3$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + K)}{3} - 3$

微积分学 示例

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