微积分学示例

$y (x^{4} - y^{2}) d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

解题步骤 1

以数学表达式书写该问题。

$y (x^{4} - y^{2}) d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = y (x^{4} - y^{2})$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (x^{4} - y^{2})]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = y$ 且 $g (y) = x^{4} - y^{2}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [x^{4} - y^{2}] + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $x^{4} - y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.3.2

因为 $x^{4}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{4}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- y^{2}] + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.3.4

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- (2 y)) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 2 y) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.4

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (y^{1} y) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.5

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (y^{1} y^{1}) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{1 + 1} + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{2} + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{2} + (x^{4} - y^{2}) \cdot 1$

解题步骤 2.9

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.9.1

将 $x^{4} - y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{2} + x^{4} - y^{2}$

解题步骤 2.9.2

从 $- 2 y^{2}$ 中减去 $y^{2}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{4} - 3 y^{2}$

解题步骤 3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x (x^{4} + y^{2})$ 的值。

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解题步骤 3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x^{4} + y^{2})]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{4} + y^{2}$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}] + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $x^{4} + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.3

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (4 x^{3} + 0) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.4

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (4 x^{3}) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 (x^{1} x^{3}) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{1 + 3} + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.6

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{4} + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{4} + (x^{4} + y^{2}) \cdot 1$

解题步骤 3.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.8.1

将 $x^{4} + y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{4} + x^{4} + y^{2}$

解题步骤 3.8.2

将 $4 x^{4}$ 和 $x^{4}$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 x^{4} + y^{2}$

解题步骤 4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x^{4} - 3 y^{2}$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $5 x^{4} + y^{2}$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$x^{4} - 3 y^{2} = 5 x^{4} + y^{2}$

解题步骤 4.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$x^{4} - 3 y^{2} = 5 x^{4} + y^{2}$ 不是恒等式。

解题步骤 5

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

代入 $x^{4} - 3 y^{2}$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{x^{4} - 3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 5.2

代入 $5 x^{4} + y^{2}$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{x^{4} - 3 y^{2} - (5 x^{4} + y^{2})}{N}$

解题步骤 5.3

代入 $x (x^{4} + y^{2})$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 5.3.1

代入 $x (x^{4} + y^{2})$ 替换 $N$ 。

$\frac{x^{4} - 3 y^{2} - (5 x^{4} + y^{2})}{x (x^{4} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.2

化简分子。

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解题步骤 5.3.2.1

使 $u = y^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $y^{2}$ 。

$\frac{- 4 x^{4} - 4 u}{x (x^{4} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.2.2

从 $- 4 x^{4} - 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 5.3.2.2.1

从 $- 4 x^{4}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- x^{4}) - 4 u}{x (x^{4} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.2.2.2

从 $- 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- x^{4}) + 4 (- u)}{x (x^{4} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.2.2.3

从 $4 (- x^{4}) + 4 (- u)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- x^{4} - u)}{x (x^{4} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.2.3

使用 $y^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{4 (- x^{4} - y^{2})}{x (x^{4} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.3

约去 $- x^{4} - y^{2}$ 和 $x^{4} + y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $- x^{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (x^{4}) - y^{2})}{x (x^{4} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.2

从 $- y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (x^{4}) - (y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.3

从 $- (x^{4}) - (y^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (x^{4} + y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.4

将 $- (x^{4} + y^{2})$ 重写为 $- 1 (x^{4} + y^{2})$ 。

$\frac{4 (- 1 (x^{4} + y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.5

约去公因数。

$\frac{4 (- 1 (x^{4} + y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.6

重写表达式。

$\frac{4 \cdot (- 1)}{x}$

解题步骤 5.3.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 4}{x}$

解题步骤 5.3.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{x}$

解题步骤 5.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

解题步骤 6

计算积分 $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ 。

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解题步骤 6.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

解题步骤 6.2

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

解题步骤 6.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 6.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 6.5

化简。

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

解题步骤 6.6

化简每一项。

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解题步骤 6.6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 4 \ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

解题步骤 6.6.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

解题步骤 6.6.3

去掉 ${| x |}^{- 4}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

解题步骤 6.6.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

解题步骤 7

在 $y (x^{4} - y^{2}) d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

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解题步骤 7.1

将 $y (x^{4} - y^{2})$ 乘以 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$y (x^{4} - y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$(y x^{4} + y (- y^{2})) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.3

使用乘法的交换性质重写。

$(y x^{4} - y \cdot y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.4

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 7.4.1

移动 $y^{2}$ 。

$(y x^{4} - (y^{2} y)) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.4.2

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 7.4.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$(y x^{4} - (y^{2} y^{1})) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(y x^{4} - y^{2 + 1}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.4.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$(y x^{4} - y^{3}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.5

将 $y x^{4} - y^{3}$ 乘以 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$\frac{y x^{4} - y^{3}}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.6

化简分子。

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解题步骤 7.6.1

从 $y x^{4} - y^{3}$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 7.6.1.1

从 $y x^{4}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (x^{4}) - y^{3}}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.6.1.2

从 $- y^{3}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (x^{4}) + y (- y^{2})}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.6.1.3

从 $y (x^{4}) + y (- y^{2})$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (x^{4} - y^{2})}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.6.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$\frac{y ({(x^{2})}^{2} - y^{2})}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.6.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2}$ 和 $b = y$ 。

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.7

将 $x (x^{4} + y^{2})$ 乘以 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

解题步骤 7.8

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.8.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

解题步骤 7.8.2

约去公因数。

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

解题步骤 7.8.3

重写表达式。

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

解题步骤 7.9

将 $x^{4} + y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + \frac{x^{4} + y^{2}}{x^{3}} d y = 0$

解题步骤 8

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int \frac{x^{4} + y^{2}}{x^{3}} d y$

解题步骤 9

对 $N (x, y) = \frac{x^{4} + y^{2}}{x^{3}}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 9.1

由于 $\frac{1}{x^{3}}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{x^{3}}$ 移到积分外。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} \int x^{4} + y^{2} d y$

解题步骤 9.2

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (\int x^{4} d y + \int y^{2} d y)$

解题步骤 9.3

应用常数不变法则。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + C + \int y^{2} d y)$

解题步骤 9.4

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + C + \frac{1}{3} y^{3} + C)$

解题步骤 9.5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + C + \frac{y^{3}}{3} + C)$

解题步骤 9.6

化简。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + C$

解题步骤 10

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)$

解题步骤 11

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 12.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.2

根据加法法则， $\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3})]$ 。

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解题步骤 12.3.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ 且 $g (x) = x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ 。

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}] + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.3

根据加法法则， $x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]$ 。

$\frac{1}{x^{3}} (\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.4

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x^{4} y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{1}{x^{3}} (y \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.6

因为 $\frac{y^{3}}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{y^{3}}{3}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.7

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 12.3.8.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.8.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.10

将 $4$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{1}{x^{3}} (4 \cdot y x^{3} + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.11

将 $4 y x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x^{3}} (4 y x^{3}) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.12

组合 $4$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{4}{x^{3}} (y x^{3}) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.13

组合 $y$ 和 $\frac{4}{x^{3}}$ 。

$\frac{y \cdot 4}{x^{3}} x^{3} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.14

组合 $\frac{y \cdot 4}{x^{3}}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{y \cdot 4 x^{3}}{x^{3}} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.15

将 $4$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot y x^{3}}{x^{3}} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.16

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.16.1

约去公因数。

$\frac{4 y x^{3}}{x^{3}} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.16.2

用 $4 y$ 除以 $1$ 。

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.17

将 ${(x^{3})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 12.3.17.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.17.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.18

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.19

通过指数相加将 $x^{- 6}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 12.3.19.1

移动 $x^{2}$ 。

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.19.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.19.3

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{- 4}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5

化简。

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解题步骤 12.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.2

运用分配律。

$4 y + x^{4} y (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3

合并项。

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解题步骤 12.5.3.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$4 y + x^{4} y \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.2

将负号移到分数的前面。

$4 y + x^{4} y (- \frac{3}{x^{4}}) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.3

组合 $x^{4}$ 和 $\frac{3}{x^{4}}$ 。

$4 y + y (- \frac{x^{4} \cdot 3}{x^{4}}) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.4

组合 $y$ 和 $\frac{x^{4} \cdot 3}{x^{4}}$ 。

$4 y - \frac{y (x^{4} \cdot 3)}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.5

将 $3$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$4 y - \frac{y (3 \cdot x^{4})}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.6

将 $3$ 移到 $y$ 的左侧。

$4 y - \frac{3 \cdot y x^{4}}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.7

约去 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 12.5.3.7.1

约去公因数。

$4 y - \frac{3 y x^{4}}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.7.2

用 $3 y$ 除以 $1$ 。

$4 y - (3 y) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.8

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$4 y - 3 y + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.9

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$4 y - 3 y + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.10

将负号移到分数的前面。

$4 y - 3 y + \frac{y^{3}}{3} (- \frac{3}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.11

将 $\frac{y^{3}}{3}$ 乘以 $\frac{3}{x^{4}}$ 。

$4 y - 3 y - \frac{y^{3} \cdot 3}{3 x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.12

将 $3$ 移到 $y^{3}$ 的左侧。

$4 y - 3 y - \frac{3 \cdot y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.13

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.5.3.13.1

约去公因数。

$4 y - 3 y - \frac{3 y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.13.2

重写表达式。

$4 y - 3 y - \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.14

从 $4 y$ 中减去 $3 y$ 。

$y - \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.4

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + y - \frac{y^{3}}{x^{4}} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

解题步骤 13

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 13.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 13.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$ 。

$\frac{d g}{d x} + y - \frac{y^{3}}{x^{4}} - \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.3

化简每一项。

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解题步骤 13.1.3.1

运用分配律。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} + (- y x^{2} - y \cdot y) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.3.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 13.1.3.2.1

移动 $y$ 。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} + (- y x^{2} - (y \cdot y)) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.3.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} + (- y x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.3.3

使用 FOIL 方法展开 $(- y x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y)$ 。

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解题步骤 13.1.3.3.1

运用分配律。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2} (x^{2} - y) - y^{2} (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.3.3.2

运用分配律。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2} x^{2} - y x^{2} (- y) - y^{2} (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.3.3.3

运用分配律。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2} x^{2} - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.3.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 13.1.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.3.4.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 13.1.3.4.1.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y (x^{2} x^{2}) - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.3.4.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2 + 2} - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.3.4.1.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.3.4.1.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 13.1.3.4.1.2.1

移动 $y$ 。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} - (y \cdot y) x^{2} \cdot - 1 - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.3.4.1.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} - y^{2} x^{2} \cdot - 1 - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.3.4.1.3

乘以 $- y^{2} x^{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 13.1.3.4.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + 1 y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.3.4.1.3.2

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.3.4.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.3.4.1.5

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 13.1.3.4.1.5.1

移动 $y$ 。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 (y \cdot y^{2})}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.3.4.1.5.2

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 13.1.3.4.1.5.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 (y^{1} y^{2})}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.3.4.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{1 + 2}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.3.4.1.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{3}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.3.4.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} + 1 y^{3}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.3.4.1.7

将 $y^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} + y^{3}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.3.4.2

从 $y^{2} x^{2}$ 中减去 $y^{2} x^{2}$ 。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + 0 + y^{3}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.3.4.3

将 $- y x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{3}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.4

合并 $- y^{3} - y x^{4} + y^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 13.1.4.1

将 $- y^{3}$ 和 $y^{3}$ 相加。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y x^{4} + 0}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.4.2

将 $- y x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y x^{4}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.5

约去 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.5.1

约去公因数。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y x^{4}}{x^{4}} = 0$

解题步骤 13.1.5.2

用 $- y$ 除以 $1$ 。

$\frac{d g}{d x} + y - y = 0$

解题步骤 13.1.6

合并 $\frac{d g}{d x} + y - y$ 中相反的项。

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解题步骤 13.1.6.1

从 $y$ 中减去 $y$ 。

$\frac{d g}{d x} + 0 = 0$

解题步骤 13.1.6.2

将 $\frac{d g}{d x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = 0$

解题步骤 14

求 $0$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 14.1

对 $\frac{d g}{d x} = 0$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

解题步骤 14.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int 0 d x$

解题步骤 14.3

$0$ 对 $x$ 的积分为 $0$ 。

$g (x) = 0 + C$

解题步骤 14.4

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$g (x) = C$

解题步骤 15

在 $f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + C$

解题步骤 16

化简每一项。

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解题步骤 16.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) + C$

解题步骤 16.2

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 乘以 $x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}}{x^{3}} + C$

解题步骤 16.3

化简分子。

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解题步骤 16.3.1

从 $x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 16.3.1.1

从 $x^{4} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$f (x, y) = \frac{y x^{4} + \frac{y^{3}}{3}}{x^{3}} + C$

解题步骤 16.3.1.2

从 $\frac{y^{3}}{3}$ 中分解出因数 $y$ 。

$f (x, y) = \frac{y x^{4} + y \frac{y^{2}}{3}}{x^{3}} + C$

解题步骤 16.3.1.3

从 $y x^{4} + y \frac{y^{2}}{3}$ 中分解出因数 $y$ 。

$f (x, y) = \frac{y (x^{4} + \frac{y^{2}}{3})}{x^{3}} + C$

解题步骤 16.3.2

要将 $x^{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{y (x^{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{2}}{3})}{x^{3}} + C$

解题步骤 16.3.3

组合 $x^{4}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{y (\frac{x^{4} \cdot 3}{3} + \frac{y^{2}}{3})}{x^{3}} + C$

解题步骤 16.3.4

在公分母上合并分子。

$f (x, y) = \frac{y \frac{x^{4} \cdot 3 + y^{2}}{3}}{x^{3}} + C$

解题步骤 16.3.5

将 $3$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$f (x, y) = \frac{y \frac{3 x^{4} + y^{2}}{3}}{x^{3}} + C$

解题步骤 16.4

组合 $y$ 和 $\frac{3 x^{4} + y^{2}}{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{\frac{y (3 x^{4} + y^{2})}{3}}{x^{3}} + C$

解题步骤 16.5

将分子乘以分母的倒数。

$f (x, y) = \frac{y (3 x^{4} + y^{2})}{3} \cdot \frac{1}{x^{3}} + C$

解题步骤 16.6

合并。

$f (x, y) = \frac{y (3 x^{4} + y^{2}) \cdot 1}{3 x^{3}} + C$

解题步骤 16.7

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$f (x, y) = \frac{y (3 x^{4} + y^{2})}{3 x^{3}} + C$

微积分学 示例

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