微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{1 + x}{1 + y})}^{2}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

对 $\frac{1 + x}{1 + y}$ 运用乘积法则。

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 + y)}^{2}}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 ${(1 + y)}^{2}$ 。

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2} \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 + y)}^{2}}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

约去 ${(1 + y)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.1

约去公因数。

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2} \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 + y)}^{2}}$

解题步骤 1.3.1.2

重写表达式。

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + x)}^{2}$

解题步骤 1.3.2

将 ${(1 + x)}^{2}$ 重写为 $(1 + x) (1 + x)$ 。

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + x)$

解题步骤 1.3.3

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x) (1 + x)$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

运用分配律。

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 (1 + x) + x (1 + x)$

解题步骤 1.3.3.2

运用分配律。

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x)$

解题步骤 1.3.3.3

运用分配律。

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x$

解题步骤 1.3.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.4.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x$

解题步骤 1.3.4.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x$

解题步骤 1.3.4.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x + x + x \cdot x$

解题步骤 1.3.4.1.4

将 $x$ 乘以 $x$ 。

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x + x + x^{2}$

解题步骤 1.3.4.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + 2 x + x^{2}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

${(1 + y)}^{2} d y = (1 + 2 x + x^{2}) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int {(1 + y)}^{2} d y = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = 1 + y$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = 1 + y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $1 + y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $1 + y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2.1.1.3

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2.1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int u^{2} d u = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\frac{1}{3} u^{3} + C_{1} = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

解题步骤 2.2.3

使用 $1 + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = \int d x + \int 2 x d x + \int x^{2} d x$

解题步骤 2.3.2

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + \int 2 x d x + \int x^{2} d x$

解题步骤 2.3.3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 \int x d x + \int x^{2} d x$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int x^{2} d x$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2

化简。

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

解题步骤 2.3.7

重新排序项。

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{5}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3}) = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $3 (\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(1 + y)}^{3}$ 。

$3 \frac{{(1 + y)}^{3}}{3} = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{{(1 + y)}^{3}}{3} = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(1 + y)}^{3} = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

${(1 + y)}^{3} = 3 (x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + x + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

${(1 + y)}^{3} = 3 x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 x + 3 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

约去公因数。

${(1 + y)}^{3} = 3 x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 x + 3 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

重写表达式。

${(1 + y)}^{3} = 3 x^{2} + x^{3} + 3 x + 3 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$1 + y = \sqrt[3]{3 x^{2} + x^{3} + 3 x + 3 K}$

解题步骤 3.4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y = \sqrt[3]{3 x^{2} + x^{3} + 3 x + 3 K} - 1$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \sqrt[3]{3 x^{2} + x^{3} + 3 x + K} - 1$

微积分学 示例

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