微积分学示例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{x}$

解题步骤 1

两边对 $x$ 积分。

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解题步骤 1.1

一阶导数等于二阶导数对 $x$ 的积分。

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 1.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{d y}{d x} = \ln (| x |) + C_{1}$

解题步骤 2

重写该方程。

$d y = (\ln (| x |) + C_{1}) d x$

解题步骤 3

对两边积分。

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解题步骤 3.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \ln (| x |) + C_{1} d x$

解题步骤 3.2

应用常数不变法则。

$y + C_{2} = \int \ln (| x |) + C_{1} d x$

解题步骤 3.3

对右边积分。

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解题步骤 3.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{2} = \int \ln (| x |) d x + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (| x |)$ ， $d v = 1$ 。

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int x \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.3

化简。

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解题步骤 3.3.3.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.3.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.1

约去公因数。

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.3.2.2

重写表达式。

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int d x + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.4

应用常数不变法则。

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - (x + C_{3}) + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.5

应用常数不变法则。

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - (x + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

解题步骤 3.3.6

化简。

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - x + C_{1} x + C_{5}$

解题步骤 3.3.7

重新排序项。

$y + C_{2} = x \ln (| x |) + C_{1} x - x + C_{5}$

解题步骤 3.4

将右边的积分常数分组为 $D$ 。

$y = x \ln (| x |) + C x - x + D$

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