微积分学示例

$(x + 1) \frac{d y}{d x} = x$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将 $(x + 1) \frac{d y}{d x} = x$ 中的每一项除以 $x + 1$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $(x + 1) \frac{d y}{d x} = x$ 中的每一项都除以 $x + 1$ 。

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} = \frac{x}{x + 1}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} = \frac{x}{x + 1}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1}$

解题步骤 1.2

重写该方程。

$d y = \frac{x}{x + 1} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

用 $x$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x$

$0$

解题步骤 2.3.1.2

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

解题步骤 2.3.1.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

解题步骤 2.3.1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x + 1$ 中的所有符号

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

解题步骤 2.3.1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

解题步骤 2.3.1.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$y + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 2.3.3

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 2.3.4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 2.3.5

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.5.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.5.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 2.3.5.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.5.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.5.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$y + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

解题步骤 2.3.7

化简。

$y + C_{1} = x - \ln (| u |) + C_{4}$

解题步骤 2.3.8

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y = x - \ln (| x + 1 |) + C$

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