微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x e^{x}}{y + y e^{y^{2}}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y + y e^{y^{2}}$ 。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y + y e^{y^{2}}}$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

从 $y + y e^{y^{2}}$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y^{1} + y e^{y^{2}}}$

解题步骤 1.2.1.2

从 $y^{1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y \cdot 1 + y e^{y^{2}}}$

解题步骤 1.2.1.3

从 $y e^{y^{2}}$ 中分解出因数 $y$ 。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})}$

解题步骤 1.2.1.4

从 $y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})$ 中分解出因数 $y$ 。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y (1 + e^{y^{2}})}$

解题步骤 1.2.2

将 $y + y e^{y^{2}}$ 乘以 $\frac{1 + x e^{x}}{y (1 + e^{y^{2}})}$ 。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + y e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

解题步骤 1.2.3

从 $y + y e^{y^{2}}$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{1} + y e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

解题步骤 1.2.3.2

从 $y^{1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + y e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

解题步骤 1.2.3.3

从 $y e^{y^{2}}$ 中分解出因数 $y$ 。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

解题步骤 1.2.3.4

从 $y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})$ 中分解出因数 $y$ 。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

解题步骤 1.2.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.1

约去公因数。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

解题步骤 1.2.4.2

重写表达式。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{1 + e^{y^{2}}}$

解题步骤 1.2.5

约去 $1 + e^{y^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.1

约去公因数。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{1 + e^{y^{2}}}$

解题步骤 1.2.5.2

用 $1 + x e^{x}$ 除以 $1$ 。

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = 1 + x e^{x}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$(y + y e^{y^{2}}) d y = (1 + x e^{x}) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y + y e^{y^{2}} d y = \int 1 + x e^{x} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y d y + \int y e^{y^{2}} d y = \int 1 + x e^{x} d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int y e^{y^{2}} d y = \int 1 + x e^{x} d x$

解题步骤 2.2.3

使 $u = y^{2}$ 。然后使 $d u = 2 y d y$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = y d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.3.1

设 $u = y^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1.1

对 $y^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 2.2.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 y$

解题步骤 2.2.3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int 1 + x e^{x} d x$

解题步骤 2.2.4

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int \frac{e^{u}}{2} d u = \int 1 + x e^{x} d x$

解题步骤 2.2.5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int 1 + x e^{x} d x$

解题步骤 2.2.6

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) = \int 1 + x e^{x} d x$

解题步骤 2.2.7

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{u} + C_{3} = \int 1 + x e^{x} d x$

解题步骤 2.2.8

使用 $y^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = \int 1 + x e^{x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = \int d x + \int x e^{x} d x$

解题步骤 2.3.2

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + C_{4} + \int x e^{x} d x$

解题步骤 2.3.3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{x}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + C_{4} + x e^{x} - \int e^{x} d x$

解题步骤 2.3.4

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + C_{4} + x e^{x} - (e^{x} + C_{5})$

解题步骤 2.3.5

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + x e^{x} - e^{x} + C_{6}$

解题步骤 2.3.6

重新排序项。

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = e^{x} x + x - e^{x} + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} = e^{x} x + x - e^{x} + K$

微积分学 示例

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