微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + y - x^{2} - 2 x = 0$

解题步骤 1

将方程重写为 $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $x^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} + y - 2 x = x^{2}$

解题步骤 1.2

在等式两边都加上 $2 x$ 。

$\frac{d y}{d x} + y = x^{2} + 2 x$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 1$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int d x}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{x + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{x}$ 。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x)$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

解题步骤 3.3

将 $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ 中的因式重新排序。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{x} y = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

将单个积分拆分为多个积分。

$e^{x} y = \int x^{2} e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

解题步骤 7.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = e^{x}$ 。

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

解题步骤 7.3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x) + \int 2 x e^{x} d x$

解题步骤 7.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

解题步骤 7.5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{x}$ 。

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x) + \int 2 x e^{x} d x$

解题步骤 7.6

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + \int 2 x e^{x} d x$

解题步骤 7.7

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 \int x e^{x} d x$

解题步骤 7.8

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{x}$ 。

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

解题步骤 7.9

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

解题步骤 7.10

化简。

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

解题步骤 8

将 $e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ 中的每一项除以 $e^{x}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ 中的每一项都除以 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C}{e^{x}}$

解题步骤 8.3.2

化简每一项。

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解题步骤 8.3.2.1

运用分配律。

$y = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x}) + 2 (- e^{x}) + C}{e^{x}}$

解题步骤 8.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C}{e^{x}}$

解题步骤 8.3.3

合并 $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$ 中相反的项。

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解题步骤 8.3.3.1

将 $- 2 x e^{x}$ 和 $2 x e^{x}$ 相加。

$y = \frac{x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 0 - 2 e^{x} + C}{e^{x}}$

解题步骤 8.3.3.2

将 $x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 e^{x} + C}{e^{x}}$

解题步骤 8.3.3.3

从 $2 e^{x}$ 中减去 $2 e^{x}$ 。

$y = \frac{x^{2} e^{x} + 0 + C}{e^{x}}$

解题步骤 8.3.3.4

将 $x^{2} e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{x^{2} e^{x} + C}{e^{x}}$

微积分学 示例

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